Основні способи організації вибірки

Достовірність статистичних висновків та змістовна інтерпретація результатів залежить від репрезентативності вибірки, тобто. повноти та адекватності уявлення властивостей генеральної сукупності, стосовно якої цю вибірку вважатимуться представницької.Вивчення статистичних властивостей сукупності можна організувати двома способами: за допомогою суцільного і Несуцільне спостереження. передбачає обстеження всіх одиниць вивчається сукупності, а несуцільне (вибіркове) спостереження - Тільки його частини.

Існують п'ять основних способів організації вибіркового спостереження:

1. простий випадковий відбір, при якому \(n\) об'єктів випадково вилучаються з генеральної сукупності \(N\) об'єктів (наприклад, за допомогою таблиці або датчика випадкових чисел), причому кожна з можливих вибірок мають рівну ймовірність. власне-випадковими;

2. простий відбір за допомогою регулярної процедури здійснюється за допомогою механічної складової (наприклад, дати, дня тижня, номера квартири, літери алфавіту та ін.) та отримані таким способом вибірки називаються механічними;

3. стратифікований відбір полягає в тому, що генеральна сукупність обсягу \ (N \) підрозділяється на підсукупності або шари (страти) обсягу \ (N_1, N_2. N_r \) так що \ (N_1 + N_2 +. + N_r = N \). однорідні об'єкти з погляду статистичних характеристик (наприклад, населення ділиться на страти за віковими групами чи соціальною належністю; підприємства - За галузями) У цьому випадку вибірки називаються стратифікованим (інакше, розшарованими, типовими, районованими);

4. методи серійного відбору використовуються для формування серійних або гніздових вибірок. Вони зручні у разі, якщо необхідно обстежити відразу " блок " чи серію об'єктів (наприклад, партію товару, продукцію певної серії чи населення при територіально-адміністративному розподілі країни). Відбір серій можна здійснити власно-випадковим чи механічним способом. При цьому проводиться суцільне обстеження певної партії товару або цілої територіальної одиниці (житлового будинку чи кварталу);

5. комбінований (ступінчастий) відбір може поєднувати в собі відразу кілька способів відбору (наприклад, стратифікований та випадковий або випадковий та механічний); така вибірка називається комбінованої.

Види відбору

за виду розрізняються індивідуальний, груповий та комбінований відбір. При індивідуальному відборі у вибіркову сукупність відбираються окремі одиниці генеральної сукупності, груповий відбір - якісно однорідні групи (серії) одиниць, а комбінований відбір передбачає поєднання першого та другого видів.

за методом відбору розрізняють повторну та безповторну вибірку.

Безповторним називається відбір, у якому що потрапила вибірку одиниця не повертається у вихідну сукупність й у подальшому виборі бере участь; при цьому чисельність одиниць генеральної сукупності N скорочується у процесі відбору. При повторному відборі потрапила у вибірку одиниця після реєстрації повертається у генеральну сукупність і таким чином зберігає рівну можливість поряд з іншими одиницями бути використаною у подальшій процедурі відбору; при цьому чисельність одиниць генеральної сукупності N залишається незмінною (метод у соціально-економічних дослідженнях застосовується рідко). Однак, за великого N (N → ∞) формули для безповторного відбору наближаються до аналогічних для повторного відбору та практично частіше використовуються останні (N = const).

Основні характеристики параметрів генеральної та вибіркової сукупності

В основі статистичних висновків проведеного дослідження лежить розподіл випадкової величини (X), спостерігаються ж значення (х₁х₂, …, х_n) називаються реалізаціями випадкової величини Х (n - Обсяг вибірки). Розподіл випадкової величини (X) у генеральній сукупності носить теоретичний, ідеальний характер, а її вибірковий аналог є емпіричним розподілом. Деякі теоретичні розподіли задані аналітично, тобто. їх параметри визначають значення функції розподілу (F(x)) у кожній точці простору можливих значень випадкової величини (X). Для вибірки функцію розподілу визначити важко, а іноді неможливо, тому параметри оцінюють за емпіричними даними, а потім їх підставляють в аналітичний вираз, що описує теоретичний розподіл. При цьому припущення (або гіпотеза) Про вид розподілу може бути як статистично вірним, так і хибним. Але в будь-якому випадку відновлений за вибіркою емпіричний розподіл лише грубо характеризує справжнє. Найважливішими параметрами розподілу є математичне очікування \(\mu\) та дисперсія \(\sigma^2\).

За своєю природою розподілу бувають безперервними і дискретними. Найбільш відомим безперервним розподілом є нормальне. Вибірковими аналогами параметрів \(\mu\) і\(\sigma^2\)для нього є: середнє значення \(\overline\) та емпірична дисперсія \(s^2\).Серед дискретних у соціально-економічних дослідженнях найчастіше застосовується альтернативне (дихотомічне) Розподіл. Параметр математичного очікування \(\mu\) цього розподілу виражає відносну величину (або частку) одиниць сукупності, які мають досліджувану ознаку (x) (вона позначена буквою (p)); частка сукупності, що не має цієї ознаки, позначається буквою q (q = 1 - p). Дисперсія ж (sigma ^ 2) альтернативного розподілу також має емпіричний аналог (s 2).

Залежно від виду розподілу та від способу відбору одиниць сукупності по-різному обчислюються характеристики параметрів розподілу. Основні з них для теоретичного та емпіричного розподілів наведені у табл. 1.

Часткою вибірки k_n називається відношення числа одиниць вибіркової сукупності до одиниць генеральної сукупності:

Вибіркова частка w - Це відношення одиниць, що володіють ознакою, що вивчається x до обсягу вибірки n:

приклад. У партії товару, що містить 1000 од., при 5% вибірці частка вибірки k_n в абсолютній величині складає 50 од. (n = N * 0,05); якщо ж у цій вибірці виявлено 2 браковані вироби, то вибіркова частка шлюбу w становитиме 0,04 (w = 2/50 = 0,04 або 4%).

Так як вибіркова сукупність відмінна від генеральної, то виникають помилки вибірки.

Таблиця 1. Основні параметри генеральної та вибіркової сукупностей

Помилки вибірки

За будь-якого статистичного спостереження (суцільного та вибіркового) можуть зустрітися помилки двох видів: реєстрації та репрезентативності. Помилки реєстрації можуть мати випадковий і систематичний характер. Випадкові помилки складаються з безлічі різних неконтрольованих причин, носять ненавмисний характер і зазвичай за сукупністю врівноважують один одного (наприклад, зміни показників приладу при температурних коливаннях у приміщенні).

Систематичні помилки тенденційні, тому що порушують правила відбору об'єктів у вибірку (наприклад, відхилення у вимірах при зміні налаштування вимірювального приладу).

приклад. Для оцінки соціального становища населення місті передбачено обстежити 25% сімей. Якщо при цьому вибір кожної четвертої квартири ґрунтується на її номері, то існує небезпека відібрати всі квартири лише одного типу (наприклад, однокімнатні), що забезпечить систематичну помилку та спотворить результати; вибір же номера квартири за жеребом кращий, оскільки помилка буде випадковою.

Помилки репрезентативності притаманні лише вибірковому спостереженню, їх неможливо уникнути і вони виникають внаслідок того, що вибіркова сукупність в повному обсязі відтворює генеральну. Значення показників, одержуваних за вибіркою, відрізняються від показників цих самих величин у генеральній сукупності (або одержуваних при суцільному спостереженні).

Помилка вибіркового спостереження \(\varepsilon\) є різниця між значенням параметра в генеральній сукупності та її вибірковим значенням. Для середнього значення кількісної ознаки вона дорівнює: \(\varepsilon_<\overline> = \mid \mu - \overline \mid\), а для частки (альтернативної ознаки) - \(\varepsilon_w = \mid p - w \mid\ ).

Помилки вибірки властиві лише вибірковим спостереженням. Чим більше ці помилки, тим більше емпіричний розподіл відрізняється від теоретичного.Параметри емпіричного розподілу \(\overline\) і \(s^2\) є випадковими величинами, отже, помилки вибірки також є випадковими величинами, можуть приймати різні вибірки різні значення і тому прийнято обчислювати середню помилку.

Середня помилка вибірки є величина \(m = \sqrt>\), що виражає середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої від математичного очікування. Ця величина при дотриманні принципу випадкового відбору залежить насамперед від обсягу вибірки \(n\) і від ступеня варіювання ознаки: чим більше \(n\) і чим менша варіація ознаки (отже, і значення \(\sigma^2\)) , Тим менше величина середньої помилки вибірки \(m\). Співвідношення між дисперсіями генеральної та вибіркової сукупностей виражається формулою:

тобто. при досить великих (n) можна вважати, що (sigma = s). Середня помилка вибірки показує можливі відхилення параметра вибіркової сукупності від генерального параметра. У табл. 2 наведено вирази для обчислення середньої помилки \(m\) вибірки при різних методах організації спостереження.

Таблиця 2. Середня помилка (m) вибіркових середньої та частки для різних видів вибірки

Де - середня із внутрішньогрупових вибіркових дисперсій для безперервної ознаки;

- середня із внутрішньогрупових дисперсій частки;

\(r\) - кількість відібраних серій, \ (R\) - загальна кількість серій;

де \(\overline\) - середня \(i\)-ї серії;

\(\overline\) - загальна середня по всій вибірковій сукупності для безперервної ознаки;

де \(\overline\) - частка ознаки в \(i\)-ї серії;

\(\overline\) - загальна частка ознаки по всій вибірковій сукупності.

Однак про величину середньої помилки (m) можна судити лише з певною, ймовірністю Р (Р ≤ 1). Ляпунов О.М.довів, що розподіл вибіркових середніх \(\overline\), а отже, та їх відхилень від генеральної середньої, при досить великій кількості \(n\) наближено підпорядковується нормальному закону розподілу за умови, що генеральна сукупність має кінцеву середню та обмежену дисперсію.

Математично це твердження для середньої виражається у вигляді:

а для частки вираз (1) набуде вигляду:

де - є гранична помилка вибірки, яка кратна величині середньої помилки вибірки \(m\), а коефіцієнт кратності \(t\) - є критерій Стьюдента ("коефіцієнт довіри"), запропонований У.С. Держсетом (псевдонім "Student"); значення \(t\) для різного обсягу вибірки \(n\) зберігаються у спеціальній таблиці.

Значення функції Ф(t) при деяких значеннях t дорівнюють:

Отже, вираз (3) може бути прочитаний так: з ймовірністю Р = 0,683 (68,3%) можна стверджувати, що різниця між вибірковою та генеральною середньою не перевищить однієї величини середньої помилки m (t = 1)з ймовірністю Р = 0,954 (95,4%) що вона не перевищить величини двох середніх помилок m (t = 2) з ймовірністю Р = 0,997 (99,7%) - не перевищить трьох значень m (t = 3) . Таким чином, ймовірність того, що ця різниця перевищить триразову величину середньої помилки, визначає рівень помилки і становить не більше 0,3%.

У табл. 3 наведено формули для обчислення граничної помилки вибірки.

Таблиця 3. Гранична помилка (D) вибірки для середньої та частки (р) для різних видів вибіркового спостереження

Поширення вибіркових результатів на генеральну сукупність

Кінцевою метою вибіркового спостереження є характеристика генеральної сукупності.При малих обсягах вибірки емпіричні оцінки параметрів (\(\overline\) і \(w\)) можуть істотно відхилятися від їх справжніх значень (\(\mu\) і \(p\)). Тому виникає необхідність встановити межі, в межах яких для вибіркових значень параметрів (\(\overline\) і \(w\)) лежать справжні значення (\(\mu\) і \(p\)).

Довірчим інтервалом будь-якого параметра θгенеральної сукупності називається випадкова область значень цього параметра, яка з ймовірністю близькою до 1 (надійністю) містить справжнє значення цього параметра.

Гранична помилка вибірки Δдозволяє визначити граничні значення характеристик генеральної сукупності та їх довірчі інтервали, які рівні:

Нижній кордон довірчого інтервалу отримана шляхом віднімання граничної помилки з вибіркового середнього (частки), а верхня – шляхом її додавання.

Довірчий інтервал для середньої використовує граничну помилку вибірки та для заданого рівня достовірності \(p\) визначається за формулою:

Це означає, що із заданою ймовірністю Ряка називається довірчим рівнем і однозначно визначається значенням t, можна стверджувати, що справжнє значення середньої лежить у межах від ,а істинне значення частки \(w\) - в межах від

Під час розрахунку довірчого інтервалу для трьох стандартних довірчих рівнів Р = 95%, Р = 99% та Р = 99,9% значення \(t\) вибирається за таблицею Стьюдента. Програми в залежності від числа ступенів свободи (v = n - 1). Якщо обсяг вибірки досить великий, то відповідні цим імовірностям значення t рівні: 1,96, 2,58 і 3,29. Таким чином, гранична помилка вибірки дозволяє визначити граничні значення характеристик генеральної сукупності та їх довірчі інтервали:

Поширення результатів вибіркового спостереження на генеральну сукупність у соціально-економічних дослідженнях має свої особливості, оскільки потребує повноти представництва всіх її типів та груп. Основою для можливості такого розповсюдження є розрахунок відносної помилки:

де Δ_%- відносна гранична помилка вибірки; \(\overline\), \(\overline

\).

Існують два основні методи поширення вибіркового спостереження на генеральну сукупність: прямий перерахунок та спосіб коефіцієнтів.

Сутність прямого перерахунку полягає в множенні вибіркового середнього значення !! overline на обсяг генеральної сукупності (N).

приклад. Нехай середня кількість дітей ясельного віку в місті оцінена вибірковим методом і склала (overline = 1.2) людини. Якщо місті 1000 молодих сімей, кількість необхідних місць у муніципальних дитячих яслах отримують множенням цієї середньої чисельність генеральної сукупності N = 1000, тобто. становитиме 1200 місць.

Спосіб коефіцієнтів доцільно використовувати у разі, коли вибіркове спостереження проводиться з метою уточнення даних суцільного спостереження.

При цьому використовують формулу:

де всі змінні - це чисельність сукупності:

• \(Y_1\) - з поправкою на недооблік,
• \(Y_0\) - без цієї поправки,
• \(y_0\) - у контрольних точках
• \(y_1\) - у тих же точках за даними контрольних заходів.

Необхідний обсяг вибірки

При плануванні вибіркового спостереження із заздалегідь заданим значенням припустимої помилки вибірки необхідно правильно оцінити необхідний обсяг вибірки. Цей обсяг може бути визначений на основі припустимої помилки при вибірковому спостереженні виходячи із заданої ймовірності (P), що гарантує допустиму величину рівня помилки (з урахуванням способу організації спостереження). Формули визначення необхідної чисельності вибірки n легко отримати безпосередньо з формул граничної помилки вибірки. Так, з висловлювання для граничної помилки:

безпосередньо визначається обсяг вибірки n:

Ця формула показує, що зі зменшенням граничної помилки вибірки Δістотно збільшується необхідний обсяг вибірки (n), який пропорційний дисперсії (sigma ^ 2) і квадрату критерію Стьюдента (t).

Для конкретного способу організації спостереження необхідний обсяг вибірки (n) обчислюється згідно з формулами, наведеними в табл. 9.4.

Практичні приклади розрахунку

Приклад 1. Обчислення середнього значення та довірчого інтервалу для безперервної кількісної ознаки.

Для оцінки швидкості розрахунку з кредиторами у банку проведено випадкову вибірку 10 платіжних документів. Їх значення виявилися рівними (у днях): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.

Необхідно з ймовірністю Р = 0,954 визначити граничну помилку Δ вибіркової середньої та довірчі межі середнього часу розрахунків.

Рішення. Середнє значення обчислюється за такою формулою з табл. 9.1 для вибіркової сукупності

Дисперсія обчислюється за такою формулою з табл. 9.1.

Середня квадратична похибка (sigma = 7.3) дня.

Помилка середньої обчислюється за такою формулою:

тобто. середнє значення дорівнює x ± m = 12,0 ± 2,3 дні.

Достовірність середнього склала

Граничну помилку обчислимо за такою формулою з табл. 9.3 для повторного відбору, оскільки чисельність генеральної сукупності (N) невідома, і для Р = 0,954 рівня достовірності.

Таким чином, середнє значення дорівнює x ± D = x ± 2m = 12,0 ± 4,6, тобто. його справжнє значення лежить у межах від 7,4 до 16,6 днів.

Використання таблиці Стьюдента. Додатки дозволяє зробити висновок, що з n = 10 — 1 = 9 ступенів свободи отримане значення достовірно з рівнем значимості a £ 0,001, тобто. отримане значення середнього достовірно відрізняється від 0.

Приклад 2. Оцінка ймовірності (генеральної частки) р.

При механічному вибірковому способі обстеження соціального стану 1000 сімей виявлено, що частка малозабезпечених сімей склала w = 0,3 (30%) (вибірка була 2%, тобто. n/N = 0,02). Необхідно з рівнем достовірності р = 0,997 визначити показник р малозабезпечених сімей у всьому регіоні.

Рішення. За представленими значеннями функції Ф(t) знайдемо для заданого рівня достовірності Р = 0,997 значення t = 3 (Див. формулу 3). Граничну помилку частки w визначимо за формулою із табл. 9.3 для безповторного відбору (механічна вибірка завжди є безповторною):

Гранична відносна помилка вибірки в % складе:

Імовірність (генеральна частка) малозабезпечених сімей у регіоні становитиме р=w±Δ_w, а довірчі межі р обчислюються виходячи з подвійної нерівності:

w - Δ_w ≤ p ≤ w - Δ_w, тобто. справжнє значення р лежить у межах:

Таким чином, із ймовірністю 0,997 можна стверджувати, що частка малозабезпечених сімей серед усіх сімей регіону становить від 28,6% до 31,4%.

Приклад 3. Обчислення середнього значення та довірчого інтервалу для дискретної ознаки, заданої інтервальним рядом.

У табл.5. задано розподіл заявок виготовлення замовлень за термінами їх виконання предприятием.

Таблиця 5. Розподіл спостережень щодо термінів появи

Строк виконання заявок (міс.)

Число спостережень f_i (Абсолютна частота)

Відносна частота р_i (%)

Середина інтервалу (градації) ознаки x_i