Що таке ліміти у математиці

Межі функцій. Приклади рішень

Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який дав суворі визначення багатьом поняттям матану та заклав його основи. Треба сказати, цей шановний математик снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, тому що довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема більш завзята за іншу. У цьому зв'язку ми поки не розглядатимемо визначення межі по Коші, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ( ).
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагне до одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагне до одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно подумки проаналізувати наступне і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо , то , , .

! Примітка: Строго кажучи, такий підхід з побудовою послідовностей з кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» почне приймати такі гігантські значення, що мільйон у порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.п.

Більше того, межа має дуже хороший геометричний зміст. Для кращого розуміння теми рекомендую ознайомитись із методичним матеріалом Графіки та властивості елементарних функцій. Після прочитання цієї статті ви не тільки остаточно зрозумієте, що таке межа, а й познайомитеся з цікавими випадками, коли межі функції взагалі не існує!

На практиці, на жаль, подарунків небагато. А тому переходимо до розгляду складніших меж. До речі, на цю тему є інтенсивний курс у pdf-форматі, а також його відеоверсія, які особливо корисні, якщо у вас дуже мало часу на підготовку. Але матеріали сайту, зрозуміло, не гірші:

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність.Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що , і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність потрібно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Розділимо чисельник та знаменник на

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, межі бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, можливо, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові запитання. А воно Вам потрібне?

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільше значення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник і знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Передбачаю питання від чайників: «Чому тут поділ на нуль? А на нуль ділити не можна!». Сенс запису 0:0 буде зрозумілий пізніше, після ознайомлення з четвертим уроком про нескінченно малих функціях. А поки що всім початківцям вивчати математичний аналіз пропоную читати далі.

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило: якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеність виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиці та ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання помилки.

Далі знаходимо коріння:

Все. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Рекомендація: Якщо в межі (майже будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це робимо.
Більше того, числа-множники доцільно виносити за значок межі. Навіщо? Та просто щоб вони не заважали під ногами. Головне, потім ці числа не втратити по ходу рішення.

Зауважте, що на заключному етапі рішення я виніс за значок межі двійку, а потім – мінус.

!
У ході рішення фрагмент типу зустрічається дуже часто. не можна.Спершу потрібно поміняти знак у чисельника або у знаменника (винести -1 за дужки), наприклад, вгорі:
тобто тут з'являється знак «мінус», і втрачати його зовсім не потрібно.

Взагалі, я помітив, що найчастіше при знаходженні меж даного типу доводиться вирішувати два квадратні рівняння, оскільки і в чисельнику і знаменнику знаходяться квадратні тричлени.

Метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз

Продовжуємо розглядати невизначеність виду

Наступний тип меж схожий на попередній тип. Єдине, крім багаточленів, у нас додадуться коріння.

Спочатку пробуємо підставити 3 у вираз під знаком межі
Ще раз повторюю – це перше, що потрібно виконувати для будь-якої межі. Дана дія зазвичай проводиться подумки або на чернетці.

Отримано невизначеність виду, яку потрібно усувати.

Як Ви, напевно, помітили, у нас у чисельнику знаходиться різниця коренів. А від коріння в математиці прийнято, по можливості, позбавлятися.

Коли в чисельнику (знаменнику) знаходиться різниця коренів (або корінь мінус якесь число), то для розкриття невизначеності використовують метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз.

Згадуємо нашу нетлінну формулу різниці квадратів:
І дивимося на нашу межу:
Що можна сказати? У нас у чисельнику вже є. пов'язаним виразом).

Помножуємо чисельник на сполучене вираз:

Зверніть увагу, що під корінням при цій операції ми нічого не чіпаємо.

Добре, ми організували, але вираз під знаком межі змінилося! А для того, щоб воно не змінювалося, потрібно його розділити на те саме, тобто на:

Тобто ми помножили чисельник і знаменник на сполучене вираз.
Певною мірою це штучний прийом.

Помножили. Тепер саме час застосувати вгорі формулу:

Невизначеність не зникла (спробуйте підставити трійку), та й коріння теж не зникло. Але з сумою коренів все значно простіше, її можна перетворити на число, відмінне від нуля.. Як це зробити? Та просто підставити трійку під коріння:

Множник-число, як зазначалося раніше, краще винести за значок межі.

Тепер залишилося розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити «винуватців» невизначеності, ну а межа константи – дорівнює самій константі:

Як має виглядати рішення цього прикладу в чистовому варіанті?
Приблизно так:

Помножимо чисельник і знаменник на сполучене вираз.

Спочатку спробуйте вирішити його самостійно.

Остаточне рішення прикладу може виглядати так:

Розкладемо чисельник на множники:

Помножимо чисельник і знаменник на сполучене вираз

Дякую за увагу.

Крім розглянутих типів меж практично часто зустрічаються звані Чудові межі. Після освоєння двох базових уроків рекомендую вивчити статтю Методи розв'язання меж, матеріали якої дозволять вийти на «тверду четвірку»!

Автор: Ємелін Олександр

(Перехід на головну сторінку)

знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5

Що означає межа в математиці

Хто про що, а ми продовжуємо розбирати складну математику, щоб вона не була такою складною.

Що таке межа в математиці

Коли математики говорять про межі, то мають на увазі таку послідовність подій:

Є функція — це якась «коробка» з математикою. Ти їй на вхід число, вона її обробляє у себе всередині і віддає інше число.
Функція має як мінімум два числа: те, яке ти їй даєш на вхід; і те, що отримуєш на виході.
Іноді математикам цікаво, що буде, якщо число на вході буде чогось прагнути. А саме: «Якщо число на вході прагнутиме ось сюди, куди прагнутиме число на виході?»

👉 Прагнути - значить намагатися наблизитися до якогось числа, але не досягти його.

Якщо говоримо, що змінна функції прагне нескінченності, це означає, що з кожним новим обчисленням ми беремо значення змінної більше попереднього.

1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 і так до нескінченності

Навпаки теж працює: якщо змінна функції прагне нуля, це означає, що вона постійно зменшується:

1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 і з кожним разом число буде ближче до нуля, але ніколи його не досягне.

Прагнення змінної до числа позначається стрілкою: x→0, а межа — словом lim:

Графік та межа

Якщо ми намалюємо графік цієї функції, то можемо побачити, що з якогось моменту він перетвориться на майже пряму лінію вздовж осі. Майже пряму — тому що пряма вона ніколи не стане, але прагне цього, якщо продовжити малювати графік нескінченно.

Але нескінченний графік означає, що у нас змінна функції прагне нескінченності. А значення цієї лінії на графіці - це і є межа цієї функції при змінній, що прагне нескінченності:

Межі у житті

Межі з математики часто використовуються для вирішення практичних завдань, де потрібно знайти точку, після якої різниця в результаті буде непомітною.

Наприклад, бригада монтажників будує міст, і їм потрібно зрозуміти, якою максимальною довжиною можна зробити плиту перекриття. Є вимоги, що плита повинна витримувати в середині навантаження 50 тонн — вона може бути міцнішою, але 50 тонн це мінімум. Для вирішення цього завдання використовують межу - він покаже, довше якого розміру робити плиту не можна, а все, що коротше, дасть необхідну міцність.

Астрономи за допомогою меж вивчають закони Всесвіту, фізики перевіряють все на міцність, і навіть у мікроелектроніці згасання сигналів також залежить від меж функцій.

Похибка в межах

У математиці межі вважаються точно: використовуються спеціальні формули та трюки, які допомагають знайти точну відповідь. Але в житті така точність необов'язкова: можна взяти будь-яке рішення, яке влаштує нас з прийнятною похибкою.

Ця похибка допоможе нам рахувати межі, не знаючи точних математичних формул підрахунку.

Як визначити межу, якщо ви програміст

Якщо ми маємо постійну дію щодо зменшення або збільшення змінної, то логічно зробити з цього простий цикл і доручити його машині. Єдине, що нам потрібно передбачити, - момент, коли цикл повинен зупинитися, тому що в світі математики lim за умовчанням стосується нескінченності (бо можна нескінченно прагнути).

Оскільки ми не знаємо заздалегідь точної межі функції, але можемо контролювати кількість повторень, то зробимо такі умови для зупинки циклу:

Закінчилась кількість повторень. Наприклад, ми заздалегідь говоримо, що прагнутимемо до межі межі 10000000000 разів, але якщо нічого не вийде — зупинимося.
Якщо досягли потрібної похибки. Два сусідні результати відрізняються на величину похибки чи менше — добре, ми виявили те, що потрібно.

Найскладніший момент у коді — описати те, як змінна функції чогось прагне. Якщо до нескінченності, то все просто: на кожному кроці додаємо чи множимо на якесь число. А якщо потрібно, щоб змінна прагнула нуля чи іншого числа, можна діяти так: брати початкове число, кінцеве, складати їх і ділити навпіл. Так ми постійно наближатися до потрібного нам числа, але ніколи його не досягнемо.

⚠️ Важливе застереження: числа в комп'ютері — це числа в абстрактному математичному розумінні, а кінцевий набір даних. Кінцевий він тим, що на кожну кількість виділяється якась кількість «клітин», в які це число можна записати. Якщо у нас обмежена кількість «клітин», значить, у нас є якась межа найбільшого і найменшого числа.

Наприклад, якщо ми дали змінній 32 біти пам'яті, найменше число, яке ми зможемо в неї записати, — 1,4012985×10 -45 . Це здається нескінченно малим, але насправді, якщо циклічно ділити число на 2 кілька сотень разів на секунду, ми впораємося в цей ліміт точності майже відразу. Потім знаки після коми закінчаться і число дуже швидко перетвориться на 0.

З точки зору математики будь-яке число можна нескінченно ділити та отримувати нескінченне число знаків після коми; а з погляду комп'ютера нескінченна кількість знаків неможлива, і якщо ділити досить довго – ми отримаємо нуль.

Тому у роботі з межами важливо вказувати чи кількість кроків визначення межі, чи похибка.

Тепер напишемо простий цикл, який нам визнає lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):

Якщо ми порахуємо цю межу як математики, то отримаємо значення –1.Перевіримо, як із цим впорається наш код:

// Похибка обчислень var e = 0.00001; // межа, якого прагнутиме змінна var lim = 2; // змінна функції, на старті починаємо прагнути межі звідси var x = 0; // скільки разів ми виконали цикл var n = 0; // максимальна кількість наближень до межі var max_n = 100; // функція, яка повертає значення змінної функції function f(x) < return (8 - 2*x*x)/(x*x + 4*x - 12); >// поки ми досягли потрібної похибки — виконуємо цикл while (Math.abs(f(x) -f((x+lim)/2)) >= e) < // наближаємося ще однією крок до межі x = (x+lim)/2; // збільшуємо лічильник наближень n+=1; // якщо сягнули максимальної кількості повторень if (n == max_n) < // виводимо повідомлення у тому, що зупиняємося console.log('Закінчилося кількість повторень, зупинилися у такому значенні функції: ', f(x)); // скидаємо змінну з максимальним значенням повторень і виходимо із циклу max_n = 0; break; >> // якщо змінна з максимальним значенням була скинута if (max_n != 0)< // виводимо знайдену межу console.log('Межа функції із заданою похибкою: ', f(x)) >

Межі математики для чайників: пояснення, теорія, приклади рішень

Теорія меж - розділ математичного аналізу. Поряд із системами лінійних рівнянь та диффурами межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з багатьох способів вирішення саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей чи осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.

Щоденне розсилання з корисною інформацією для студентів усіх напрямків – на нашому телеграм-каналі.

Поняття межі математики

Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:

Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a, то a - Межа цієї величини.

Для певної в певному інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A, якого прагне функція при х, що прагне до певної точки а. Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim - від англійської limit - Межа.

Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, оскільки нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:

До речі, якщо вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.

У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число у знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватись і наближатися до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х. Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність. Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність

Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як і чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: треба помітити, як можна перетворити функцію в такий спосіб, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х у старшому ступені. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченність ділимо чисельник і знаменник на х найвищою мірою.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Ще один вид невизначеностей: 0/0

У разі рекомендується розкладати чисельник і знаменник на множники.Але подивимося на конкретний приклад. Потрібно обчислити межу:

Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:

Скоротимо та отримаємо:

Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?

Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.

А тепер – реальний приклад:

В наявності типова невизначеність 0/0. Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:

Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно визначити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким і докладним рішенням.

Контрольна робота від 1 дня / від 120 грн. Дізнатись вартість
Дипломна робота від 7 днів / від 9540 грн. Дізнатись вартість
Курсова робота від 5 днів / від 2160 грн. Дізнатись вартість
Реферат від 1 дня / від 840 грн. Дізнатись вартість

Іван Колобков, відомий також як Джоні.Маркетолог, аналітик та копірайтер компанії Zaochnik. Молодий письменник, що подає надії. Живить любов до фізики, раритетних речей та творчості Ч. Буковські.

Навігація за статтями

Математика для чайників. Матриці та основні дії над ними Правило Лопіталя для чайників: визначення, приклади рішення, формули