Переходимо до другої частини статті про лінії другого порядку, присвяченій двом іншим поширеним кривим – гіперболі і параболі. Якщо ви зайшли на цю сторінку з пошукової системи або ще не встигли зорієнтуватися в темі, то рекомендую спочатку вивчити перший розділ уроку, на якому ми розглянули не тільки основні теоретичні моменти, але й познайомилися з еліпсом. Решта ж читачам пропоную суттєво поповнити свої шкільні знання про параболу та гіперболу. Гіперболу та параболу – це просто? … Не дочекаєтеся =) Загальна структура викладу матеріалу нагадуватиме попередній параграф. Почнемо із загального поняття гіперболи та завдання на її побудову. Канонічне рівняння гіперболи має вигляд , де - Позитивні дійсні числа. Зверніть увагу, що на відміну від еліпса, тут не накладається умова , тобто значення "а" може бути і менше значення "бе". Слід сказати, досить несподівано… рівняння «шкільної» гіперболи та близько не нагадує канонічну запис. Але ця загадка нас ще зачекає, а поки почухаємо потилицю і пригадаємо, які характерні особливості має крива, що розглядається? Розкинемо на екрані своєї уяви графік функції …. У гіперболи дві симетричні гілки. У гіперболи дві асимптоти. Непоганий прогрес! Ці властивості має будь-яка гіпербола, і зараз ми з непідробним захопленням заглянемо в декольте цієї лінії: Побудувати гіперболу, задану рівнянням Рішення: на першому кроці наведемо дане рівняння до канонічного вигляду . Будь ласка, запам'ятайте типовий порядок дій. Праворуч необхідно отримати «одиницю», тому обидві частини вихідного рівняння ділимо на 20: Тут можна скоротити обидва дроби, але оптимальніше зробити кожен з них триповерховий: І лише після цього провести скорочення: Виділяємо квадрати у знаменниках: Чому перетворення краще проводити саме так? Адже дроби лівої частини можна відразу скоротити та отримати. Справа в тому, що в прикладі, що розглядається, трохи пощастило: число 20 ділиться і на 4 і на 5. У загальному випадку такий номер не проходить. Розглянемо, наприклад, рівняння . Тут з ділимістю все сумніше і без триповерхових дробів вже не обійтися: Отже, скористаємося плодом наших праць – канонічним рівнянням: Існує два підходи до побудови гіперболи – геометричний та алгебраїчний. Доцільно дотримуватися наступного алгоритму, спочатку готове креслення, потім коментарі: 1) Насамперед, знаходимо асимптоти. Якщо гіпербола задана канонічним рівнянням, її асимптотами є прямі . У разі: . Цей пункт обов'язковий! Це важлива риса креслення, і буде грубою помилкою, якщо гілки гіперболи «вилізуть» за свої асимптоти. 2) Тепер знаходимо дві вершини гіперболи, які розташовані на осі абсцис у точках. Виводиться елементарно: якщо , то канонічне рівняння перетворюється на , звідки слід, що . Розглянута гіпербола має вершини 3) Шукаємо додаткові точки. Зазвичай вистачає двох-трьох. У канонічному положенні гіпербола симетрична щодо початку координат та обох координатних осей, тому обчислення достатньо провести для 1-ї координатної чверті. Методика така сама, як і при побудові еліпса. З канонічного рівняння на чернетці висловлюємо: Рівняння розпадається на дві функції: Напрошується знаходження точок з абсцисами: 4) Зобразимо на кресленні асимптоти, вершини, додаткові та симетричні їм точки в інших координатних чвертях. Акуратно з'єднаємо відповідні точки у кожної гілки гіперболи: Технічна складність може виникнути з ірраціональним кутовим коефіцієнтом Але це цілком переборна проблема. Відрізок називають справжньою віссю гіперболи, У нашому прикладі: , і, очевидно, якщо цю гіперболу повернути навколо центру симетрії та/або перемістити, то ці значення не зміняться. У гіперболи, так само, як і у еліпсає дві особливі точки , які називаються фокусами. Не говорив, але про всяк випадок, раптом хтось невірно розуміє: центр симетрії і точки фокусу, зрозуміло, не належать кривим. Загальна концепція визначення також схожа: Гіперболою називають безліч усіх точок площини, абсолютне значення різниці відстаней до кожної з яких від двох даних точок є величина постійна, чисельно рівна відстані між вершинами цієї гіперболи: . У цьому відстань між фокусами перевищує довжину дійсної осі: . Якщо гіпербола задана канонічним рівнянням, то відстань від центру симетрії до кожного з фокусів розраховується за такою формулою: . Для досліджуваної гіперболи: Розбираємось у визначенні.Позначимо через відстані від фокусів до довільної точки гіперболи: Спочатку подумки пересувайте синю крапку правою гілкою гіперболи - де б ми не знаходилися, модуль (Абсолютне значення) різниці між довжинами відрізків буде одним і тим же: Якщо точку «перекинути» на ліву гілку і переміщати її там, це значення залишиться постійним. Знак модуля необхідний з тієї причини, що різниця довжин може бути як позитивною, і негативною. До речі, для будь-якої точки правої гілки (оскільки відрізок коротше відрізка). Для будь-якої точки лівої гілки ситуація рівно протилежна і . Більше того, через очевидну властивість модуля байдуже, що з чого віднімати. Впевнимося, що в нашому прикладі модуль даної різниці дійсно дорівнює відстані між вершинами. Подумки помістіть крапку у праву вершину гіперболи. Тоді: , Що й потрібно перевірити. Ексцентриситетом Гіперболи називають відношення. Оскільки відстань від центру до фокусу більше відстані від центру до вершини: , то ексцентриситет гіперболи завжди більше «одиниці»: . За аналогією з еліпсом, зафіксувавши значення , охочі можуть провести самостійний аналіз та перевірку наступних фактів: При збільшенні ексцентриситету гілки гіперболи розпрямляються до осі. . Якщо значення ексцентриситету наближається до одиниці, то гілки гіперболи «сплющуються» до осі. . Насправді часто зустрічається гіпербола з рівними півосями. Якщо , то канонічний рівняння помітно спрощується: А разом з ним спрощуються і рівняння асимптотів: Прямі перетинаються під прямим кутом і "справедливо" ділять координатну площину на 4 однакові частини, у двох з яких знаходяться гілки кривої. Образно кажучи, рівностороння гіпербола «ідеально складена», тобто не розтягнута і сплющена. Оскільки , то , отже, ексцентриситет будь-якої рівносторонньої гіперболи дорівнює: . Пропоную закріпити теорію та практичні навички мініатюрним завданням: Побудувати гіперболу та знайти її фокуси. Це приклад самостійного рішення. Хто пропустить, той пропустить багато ;-) Рішення та креслення наприкінці уроку. Почнемо турбувати безтурботне існування нашої кривої: Повернемося до демонстраційної гіперболи. Що станеться, якщо отриманому рівнянні змінити значення півосей: ? Для еліпса цей трюк означав поворот на 90 градусів. Але тут все інакше! Рівняння визначає зовсім іншу гіперболу. Ну, хоча б зверніть увагу інші вершины: . Тепер розглянемо рівняння, яке, очевидно, теж задає гіперболу. Однак до початкового рівняння воно також не має жодного стосунку! Це попередня гіпербола, повернута на 90 градусів, з вершинами на осі ординат. І, нарешті, випадок, що залишився, ставить нашу гіперболу, повернуту на 90 градусів. Як бути, якщо в практичному завданні зустрівся такий неканонічний запис? Якщо потрібно лише побудувати криву, то будуємо її у запропонованому вигляді. Це досить просто. Рівняння асимптот гіперболи мають зворотними кутовими коефіцієнтами: Оскільки осі "помінялися ролями", то вершини будуть розташовані на осі ординат у точках . Виразимо верхню гілку гіперболи: І знайдемо кілька додаткових точок: Крім геометрії, схожі графіки потрібно будувати у деяких завданнях математичного аналізу. Однак, по можливості, все-таки краще здійснити поворот на 90 градусів і переписати рівняння в канонічній формі. Для цього слід поміняти місцями значення півосей і переставити "мінус" до змінної "гравець": . ! Примітка: Суворий теоретичний підхід передбачає поворот координатних осей, а не самої лінії. У разі потреби оформлюйте рішення за аналогією з відповідною приміткою попереднього уроку. Паралельне перенесення. Рівняння задає гіперболу з дійсною піввіссю «а», уявною піввіссю «бе» та центром у точці . Так, наприклад, гіпербол має центр симетрії в точці . Асимптоти, само собою, перемістилися разом із гіперболою, їх рівняння відшукуються за формулами: Півосі та відстань від фокусів до центру симетрії залишилися колишніми, а ось координати фокусів змінилися з урахуванням паралельного перенесення: Паралельне перенесення гіперболи завдало помітно більше клопоту, ніж паралельне перенесення еліпса, дивимося на картинку: Після таких праць, рівняння чіпати безглуздо, але якщо просять, то доведеться ... . У несуворому варіанті: «Наведемо рівняння гіперболи до канонічного виду шляхом паралельного перенесення на початок координат:». Або у строгому – з паралельним перенесенням системи координат початком у крапку Насправді часто зустрічається комбінація повороту на довільний кут і паралельного перенесення гіперболи. Ця ситуація розглядається на уроці Приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду. Здійснилося! Вона сама.Готова розкрити чимало таємниць. Канонічне рівняння параболи має вигляд , де – дійсне число. Неважко помітити, що у своєму стандартному положенні парабола «лежать на боці» та її вершина знаходиться на початку координат. У цьому функція задає верхню гілка цієї лінії, а функція – нижню гілка. Вочевидь, що парабола симетрична щодо осі . Власне, чого паритися: Рішення: вершина відома, знайдемо додаткові точки. Рівняння визначає верхню дугу параболи, рівняння нижню дугу. З метою скоротити запис обчислення проведемо «під одним гребінцем»: Для компактного запису результати можна було звести до таблиці. Перед тим, як виконати елементарний поточковий креслення, сформулюємо суворе Параболою називається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки і даної прямої, що не проходить через точку. Крапка називається фокусом параболи, пряма – директрисою
(Пишеться з однієї «ес») параболи. Константа «пе» канонічного рівняння називається фокальним параметром, що дорівнює відстані від фокусу до директорки. В даному випадку. При цьому фокус має координати, а директриса задається рівнянням. Визначення параболи розуміється ще простіше, ніж визначення еліпса та гіперболи. Для будь-якої точки параболи довжина відрізка (відстань від фокуса до точки) дорівнює довжині перпендикуляра (відстань від точки до директриси): Вітаю! Багато хто з вас сьогодні зробили справжнісіньке відкриття. Виявляється, гіпербола та парабола зовсім не є графіками «рядових» функцій, а мають яскраво виражене геометричне походження. Очевидно, що при збільшенні фокального параметра гілки графіка будуть "лунати" вгору і вниз, нескінченно близько наближаючись до осі. При зменшенні значення «пе» вони почнуть стискатися і витягуватися вздовж осі Ексцентриситет будь-якої параболи дорівнює одиниці: Парабола - одна з найпоширеніших ліній в математиці, і будувати її доведеться дійсно часто. Тому, будь ласка, особливо уважно поставитися до заключного параграфа уроку, де я розберу типові варіанти розташування даної кривої. ! Примітка: як і у випадках з попередніми кривими, коректніше говорити про поворот і паралельне перенесення координатних осей, але автор обмежиться спрощеним варіантом викладу, щоб у читача склалися елементарні уявлення про дані перетворення. 1) Поворот навколо вершини. Якщо в рівнянні є знак «мінус»: , то це означає розворот параболи на 180 градусів щодо свого канонічного положенняя. Якщо ж у рівнянні змінні «помінялися місцями»: , це означає поворот канонічної параболи на 90 градусів проти годинникової стрілки. На наступному кресленні зображені графіки кривих: Обидва рівняння задають неканонічне розташування нашої піддослідної параболи , причому у другий випадок легко отримати функціональну запис, до якої ми звикли у курсі математичного анализа: . Таким чином, усі параболи, з якими ми зазвичай працюємо – не канонічні! Я дуже хотів «укласти на бік» класичну параболу і розібрати канонічне рівняння, але, на жаль, у неї досить малий фокальний параметр, і креслення з точкою фокусу, директриса було б вкрай незрозумілим. 2) Паралельне перенесення. Без жодної оригінальності. Рівняння задає ту саму параболу з вершиною у точці. За моїми спостереженнями, у багатьох завданнях матана дуже популярний окремий випадок - коли канонічна парабола зсувається вліво або вправо по осі абсцис. Ну, і як додаткова опція, розгортається, якщо за змінної «ікс» є знак «мінус». Відповідне творче завдання для самостійного вирішення: Побудувати параболу. Привести рівняння лінії до канонічного вигляду, знайти фокус та рівняння директриси. Як краще діяти? За умовою потрібно побудувати параболу. Саме таку – у неканонічному вигляді! Тому в першій частині задачі слід уявити рівняння у вигляді , що дозволить відразу визначити вершину. Потім за зразком Прімера 6 потрібно провести поточкове побудова лінії, працюючи з рівняннями . Друга частина завдання передбачає приведення рівняння до канонічного вигляду. Проаналізуйте рівність – чи є поворот, чи паралельне перенесення? Після того, як з'ясуйте канонічну запис, необхідно знайти фокус параболи та рівняння її директриси. Зверніть увагу, що в контексті умови це найімовірніше потрібно зробити в канонічному становищі! Ну, а наша оглядова екскурсія добігла кінця, і я сподіваюся, що у вас не виникло і не виникне труднощів із трьома атлантами теми – еліпсом, гіперболою та параболою. Пропоную дізнатися новий теоретичний матеріал та закріпити практичні навички на уроці Завдання з лініями 2-го порядку. Приклад 5. Рішення: дана гіпербола є рівносторонньою, тому має асимптоти. Дійсна піввісь, отже, вершини розташовані в точках. Знайдемо додаткові точки:
І у випадку – графік зворотної пропорційності є рівносторонню гіперболу, рівняння якої можна призвести до канонічного виду . Приклад 7. Рішення: перетворюємо рівняння:
Автор: Ємелін Олександр
(Перехід на головну сторінку)
знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5 © Copyright Олександр Ємелін, mathprofi.ru, 2010-2024, зроблено в Блокноті Визначення 7.2. Геометричне місце точок площини, для яких різниця відстаней до двох фіксованих точок є величина постійна, називають гіперболою. Зауваження 7.2. Говорячи про різницю відстаней, мають на увазі, що з більшої відстані віднімається менше. Це означає, що насправді для гіперболи постійним є модуль різниці відстаней від будь-якої точки до двох фіксованих точок. # Визначення гіперболи аналогічне до визначення еліпса. Відмінність між ними лише в тому, що для гіперболи постійна різниця відстаней до фіксованих точок, а для еліпса - сума тих самих відстаней. Тому природно, що в цих кривих багато спільного як у властивостях, так і в термінології. Фіксовані точки у визначенні гіперболи (позначимо їх F1 та F2) називають фокусами гіперболи. Відстань між ними (позначимо його 2с) називають фокальною відстанню, а відрізки F1M та F2M, що з'єднують довільну точку M на гіперболі з її фокусами, фокальними радіусами. Вид гіперболи повністю визначається фокальною відстанню | F1F2| = 2с і значенням постійної величини 2а, що дорівнює різниці фокальних радіусів, а її положення на площині - положенням фокусів F1 та F2. З визначення гіперболи випливає, що вона, як і еліпс, симетрична щодо прямої, що проходить через фокуси, а також щодо прямої, яка ділить відрізок F1F2 навпіл і перпендикулярна до нього (рис. 7.7). Першу з цих осей симетрії називають справжньою віссю гіперболи, а другу - її уявною віссю. Постійну величину а, що бере участь у визначенні гіперболи, називають дійсною піввіссю гіперболи. Середина відрізка F1F2, що з'єднує фокуси гіперболи, лежить на перетині її осей симетрії і тому є центром симетрії гіперболи, який називають просто центром гіперболи. Для гіперболи дійсна вісь 2а повинна бути не більшою, ніж фокальна відстань 2с, так як для трикутника F1MF2 (див. рис. 7.7) справедлива нерівність ||F1M | - | F2M | | ≤ |F1F2|. Рівність а = с виконано тільки для точок M, які лежать на дійсній осі симетрії гіперболи поза інтервалом F1F2. Відкидаючи цей вироджений випадок, далі припускатимемо, що а 2а.Відповідно до зауваження 7.2, гіпербола складається з тих точок M(х; у), для яких | |F1M | - - | F2M | | = 2а. Виберемо прямокутну систему координат Oxy так, щоб центр гіперболи знаходився в початку координат, а фокуси розташовувалися на осі абсцис (Рис. 7.8). Таку систему координат для розглянутої гіперболи називають канонічної, а відповідні змінні - канонічними. У канонічній системі координат фокуси гіперболи мають координати F1(c; 0) та F2(-с; 0). Використовуючи формулу відстані між двома точками, запишемо умову ||F1M | - | F2M|| = 2а в координатах | √ ((х - с) 2 + у 2) - √ ((х + с) 2 + у 2) | = 2а, де (x; у) — координати точки M. Щоб спростити це рівняння, позбудемося знака модуля: √((х — с) 2 + у 2) — √((х + с) 2 + у 2) = ±2а, перенесемо другий радикал у праву частину і зведемо в квадрат: (х - с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2) + 4а 2 . Після спрощення отримаємо -εх - а = ±√((х + с) 2 + у 2), або √((х + с) 2 + у 2) = |εх + а| (7.7) де ε = с/а. Зведемо в квадрат вдруге і знову наведемо подібні члени: (ε 2 — 1)х 2 — у 2 = с 2 - а 2 або, враховуючи рівність ε = с/а і вважаючи b 2 = c 2 - a 2 , x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7.8) Величину b > 0 називають уявної піввіссю гіперболи. Отже, ми встановили, що будь-яка точка на гіперболі з фокусами F1(с;0) та F2(-с; 0) і дійсною піввіссю а задовольняє рівняння (7.8). Але треба також показати, що координати точок поза гіперболою цього рівняння не задовольняють. Для цього ми розглянемо сімейство всіх гіпербол із даними фокусами F1 та F2. У цього сімейства гіпербол осі симетрії є загальними.З геометричних міркувань ясно, що кожна точка площини (крім точок, що лежать на дійсній осі симетрії поза інтервалом F1F2, і точок, що лежать на уявній осі симетрії) належить деякій гіперболі сімейства, причому тільки одній, оскільки різниця відстаней від точки до фокусів1 та F2 змінюється від гіперболи до гіперболи. Нехай координати точки M(х; у) задовольняють рівняння (7.8), а сама точка належить гіперболі сімейства з деяким значенням дійсної півосі. Тоді, як ми довели, її координати задовольняють рівняння Отже, система двох рівнянь із двома невідомими має хоча одне рішення. Безпосередньою перевіркою переконуємось, що за ã ≠ а це неможливо. Дійсно, виключивши, наприклад, x з першого рівняння: після перетворень отримуємо рівняння яке при ã ≠ а не має рішень, оскільки . Отже, (7.8) є рівняння гіперболи із дійсною піввіссю а > 0 і уявною піввіссю b = √(з 2 — а 2 ) > 0. Його називають канонічним рівнянням гіперболи. Перегляд гіперболи. За своїм виглядом гіпербол (7.8) помітно відрізняється від еліпса. Враховуючи наявність двох осей симетрії у гіперболи, достатньо побудувати її частину, яка знаходиться в першій чверті канонічної системи координат. У першій чверті, тобто. при x ≥ 0, ≥ 0, канонічне рівняння гіперболи однозначно дозволяється відносно у: Дослідження цієї функції y(x) дає такі результати. Область визначення функції - і в цій галузі визначення вона безперервна як складна функція, причому в точці x = а вона безперервна справа. Єдиним нулем функції є точка x = а. Знайдемо похідну функції y(x): y'(x) = bx/a√(x 2 - а 2). Звідси укладаємо, що з x > а функція монотонно зростає.Крім того, , а це означає, що в точці x = a перетину графіка функції з віссю абсцис існує вертикальна дотична. > а, і це похідна негативна. Тому графік функції є опуклим вгору, а точок перегину немає. Зазначена функція має похилу асимптоту, це випливає із існування двох меж: Похила асимптота описується рівнянням y = (b/a)x. Проведене дослідження функції (7.9) дозволяє побудувати її графік (рис. 7.9), який збігається з частиною гіперболи (7.8), що міститься у першій чверті. Так як гіпербола симетрична щодо своїх осей, вся крива має вигляд, зображений на рис. 7.10. сторони від її уявної осі симетрії. Осі симетрії гіперболи відрізняються тим, що дійсна перетинає гіперболу, а уявна, будучи геометричним місцем точок, рівновіддалених від фокусів, — не перетинає (тому її і називають уявною) Дві точки перетину дійсної осі симетрії з гіперболою називають вершинами гіперболи (a ; 0) і B(-a; 0) на рис. 7.10). Побудова гіперболи за її дійсною (2a) і уявною (2b) осями слід починати з прямокутника з центром на початку координат і сторонами 2a і 2b, паралельними, відповідно, дійсною і уявною осям симетрії гіперболи (рис. 7.11). продовженнями діагоналей цього прямокутника, а вершини гіперболи - точками перетину сторін прямокутника з дійсною віссю симетрії.Зазначимо, що прямокутник та його положення на площині однозначно визначають форму та положення гіперболи. Відношення b/a сторін прямокутника визначає ступінь стиснення гіперболи, але замість цього параметра зазвичай використовують ексцентриситет гіперболи. Ексцентриситетом гіперболи називають відношення її фокальної відстані до дійсної осі. Ексцентриситет позначають через ε. Для гіперболи, яка описується рівнянням (7.8), ε = c/a. Зазначимо, що якщо ексцентриситет еліпса може набувати значення з напівінтервалу [0,1) (значення 0 відповідає граничному варіанту еліпса - кола), то ексцентриситет гіперболи завжди потрапляє в інтервал (1, + ∞). Побудуємо прямокутник з центром на початку системи координат Oxy та сторонами 2a, 2b, паралельними осям абсцис та ординат відповідно. Проведемо прямі y = (b/a)x та y = — (b/a)x, на яких лежать діагоналі прямокутника. Існує дві гіперболи, що відповідають побудованому прямокутнику (рис. 7.12). Перша їх описується канонічним рівнянням (7.8), а друга — рівнянням x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = -1. (7.10) Другу гіперболу називають пов'язаної по відношенню до першої, а рівняння (7.10) - канонічним рівнянням сполученої гіперболи. Дійсна та уявна осі першої гіперболи є відповідно уявною і дійсною осями сполученої гіперболи, а асимптоти у них загальні. Приклад 7.2. Знайдемо канонічне рівняння гіперболи по її дійсній півосі a = 4 та фокальній відстані 2с = 10. Побудуємо гіперболу та визначимо координати її вершин, фокусів та рівняння асимптот. Так як дійсна піввісь a гіперболи відома, то, щоб знайти канонічне рівняння гіперболи, достатньо визначити уявну напіввісь b.Оскільки с = 5, b = √(з 2 — а 2 ), то b = √(5 2 — 4 2 ) = 3. Отже, шукане рівняння має вигляд x 2 /4 2 - y 2 /3 2 = 1. Побудуємо прямокутник, що відповідає заданій гіперболі (рис. 7.13). Продовжимо його діагоналі до асимптот гіперболи і побудуємо саму гіперболу. Рівняння асимптот є у = ±3x/4, вершини знаходяться в точках (±4; 0), а фокуси збігаються з точками (±5; 0). Геометричні властивості. Геометричні властивості гіперболи багато в чому повторюють властивості еліпса. Повернемося до формули (7.7). Вона еквівалентна канонічному рівнянню гіперболи і дає вираз для довжини фокального радіусу F2M її точки M(х; у): |F2M | = √((х + с) 2 + у 2) = ±(εх + a) (7.11) де знак плюс відповідає правій галузі гіперболи, а знак мінус - лівої. Аналогічно можна отримати формулу для довжини іншого фокального радіусу, якщо при виведенні канонічного рівняння гіпербол перед першим зведенням у квадрат у праву частину рівності перенести не другий, а перший квадратний радикал. При цьому замість (7.7) отримаємо εх - a = ±√((х - с) 2 + у 2), звідки |F1M | = √((х - с) 2 + у 2) = ±(εх - a) (7.12) де, як і (7.11), знак плюс відповідає правої гілки гіперболи, а знак мінус - лівої. Кожне із рівнянь (7.11), (7.12) є рівнянням гіперболи. Гіпербола не проходить через свої фокуси (при 0 2 / c = (c 2 - a 2) / c = b 2 / c Гіперболу також має і оптична властивість, аналогічне оптичної властивості еліпса. Воно полягає в тому, що промені, що вийшли з одного фокусу, після відбиття від найближчої гілки гіперболи поширюються так, ніби вийшли з іншого фокусу (рис. 7.15).Гіперболу та параболу
Гіперболу та її канонічне рівняння
Як побудувати гіперболу?
З практичного погляду креслення з допомогою циркуля. я навіть сказав би утопічно, тому набагато вигідніше знову залучити на допомогу нехитрі розрахунки.
- Визначає верхні дуги гіперболи (те, що нам треба);
- Визначає нижні дуги гіперболи.
його довжину – відстанню між вершинами;
число називають справжньою піввіссю гіперболи;
число – уявною піввіссю.Визначення гіперболи. Фокуси та ексцентриситет
І, відповідно, фокуси мають координати .
У граничному випадку вони прагнуть зайняти положення двох прямих, що проходять через точки паралельно осі ординат.Рівностороння гіпербола
Поворот навколо центру та паралельне перенесення гіперболи
І далі працюватиме вже з канонічним рівнянням.
(Див. шаблон у еліпса).Парабола та її канонічне рівняння
визначення параболи:
У нашому прикладі:Поворот та паралельне перенесення параболи
Визначимо координати фокусів:
Виконаємо креслення:
Перед вами «шкільна» гіпербола у канонічному положенні. Графік функції виходить шляхом повороту (навколо початку координат) побудованого графіка на 45 градусів проти годинникової стрілки (а якщо суворіше – шляхом повороту системи координат на протилежно орієнтований кут "мінус" 45 градусів).
Вершина параболи знаходиться в точці, гілки спрямовані вліво. За допомогою рівнянь знайдемо додаткові точки:
Виконаємо креслення:
Парабола отримана шляхом повороту параболи на 180 градусів та її паралельного перенесення в крапку. З канонічного рівняння знаходимо фокальний параметр, фокус та рівняння директриси.
Примітка: у разі потреби неважко знайти координати фокусу та рівняння директриси неканонічно розташованої параболи . Враховуючи поворот та паралельне перенесення: .Гіперболу