Що відбувається з внутрішньою енергією газу при його розширенні

§ 27. Внутрішня енергія та робота ідеального газу

Внутрішня енергія. Ознайомимось із поняттям внутрішньої енергії U ідеального газу. У молекулярно-кінетичній теорії речовини внутрішня енергія макроскопічного тіла (термодинамічної системи) дорівнює сумі середньої кінетичної енергії теплового руху всіх молекул (атомів) і середньої потенціальної енергії їх взаємодії. Обчислити U через мікропараметри майже неможливо, тому використаємо макропараметри термодинамічної системи. (До того ж у практичних цілях важливіше знати не саму внутрішню енергію, а її зміну внаслідок зміни стану системи.) Середня кінетична енергія руху молекул пропорційна температурі, а середня потенціальна енергія взаємодії визначається відстанню між молекулами (тобто пропорційна об’єму тіла). Таким чином внутрішня енергія U є функцією макроскопічних параметрів, які можна виміряти — температури та об’єму: U = f(T, V).

Ураховуючи молекулярну будову ідеальних газів, застосовують універсальну формулу для визначення внутрішньої енергії, обумовленої лише кінетичною енергією руху молекул:

де і — число ступенів свободи молекули.

Формула для визначення внутрішньої енергії ідеального газу залежить від кількості атомів у молекулі речовини (табл. 4).

У реальних газах, рідинах і твердих тілах середня потенціальна енергія взаємодії молекул не дорівнює нулю, тому їх внутрішня енергія залежить і від об’єму речовини, і від температури.

Перетворення внутрішньої енергії в механічну і навпаки. Як відомо, робота виконується, якщо тіло переміщується (коли всі його частини здійснюють рух під дією сили в одному напрямку). Внутрішня енергія — це енергія хаотичного руху молекул. Відповідно для того, щоб за рахунок внутрішньої енергії виконувалась робота, необхідно якимось чином досягти упорядкованого руху молекул. Для цього найбільш зручно використовувати циліндр із рухомим поршнем (мал. 132). Рухаючи поршень вниз або вгору, ми будемо стискати або розширювати газ, у результаті чого буде змінюватись його внутрішня енергія.

Пояснимо, чому змінюється внутрішня енергія газу, якщо змінюється його об’єм.

Під час руху поршня в циліндрі молекули газу внаслідок пружних зіткнень з рухомим поршнем змінюють свою кінетичну енергію. Якщо поршень рухається назустріч молекулам, він передає молекулам у момент зіткнень частину своєї механічної енергії. (Пригадайте, у механіці ми розглядали задачі на пружну взаємодію тіл і розв’язували їх, застосовуючи закони збереження імпульсу та енергії.) У результаті збільшується кінетична енергія руху молекул, а отже, і температура газу. Таким чином механічна робота, яку виконує поршень, перетворюється у внутрішню енергію газу. Кажуть, що зовнішні сили виконують роботу A′.

Стиснутий газ, тиск якого більший за зовнішній, буде розширюватись. Молекули газу, що розширюється, зіткнувшись із поршнем, який віддаляється, зменшують свої швидкості, внаслідок чого газ охолоджується. Таким чином, газ виконує роботу А за рахунок зменшення своєї внутрішньої енергії.

Під час стискання або розширення змінюється й середня потенціальна енергія взаємодії молекул, оскільки при цьому змінюється середня відстань між ними.

Модуль сили, яка діє з боку газу на поршень, F = pS, де p — тиск газу, а S — площа поршня.

Мал. 132. До обчислення роботи газу під час: а — розширення; б — стискання

Під час стискання V₁ > V₂, тобто ΔV < 0, і робота зовнішніх сил додатна, A′ >0, напрямок сили та переміщення збігаються. Виконуючи над газом додатну роботу, зовнішні тіла передають йому енергію. Під час розширення, навпаки, робота зовнішніх сил — від’ємна, адже тепер напрямок сили й переміщення є протилежними.

Отримані вирази для обчислення роботи правильні не тільки для стискування чи розширення газу в циліндрі, а й за малої зміни об’єму будь-якої термодинамічної системи. Якщо ж процес ізобарний, ці формули можна застосовувати і для більших змін об’єму.

Графічний метод обчислення роботи. На малюнку 133 зображено процес ізобарного розширення газу в координатах p, V. Легко помітити, що для обчислення роботи газу достатньо визначити площу фігури під лінією графіка в цих координатах.

Мал. 133. Робота газу дорівнює площі прямокутника V₁ABV₂

Якщо процес ізохорний, робота термодинамічної системи A = 0, адже V = const.

Робота дорівнює площі фігури під графіком і для інших процесів, якщо вони зображені в координатах p, V. Наприклад, розглянемо графік ізотермічного процесу (мал. 134, с. 172). ΔV відмінне від нуля, отже газ виконує роботу. Але формулу A = pΔV використовувати не можна, оскільки її виведено для сталого тиску, а в ізотермічному процесі тиск змінюється. Якщо ж взяти такий малий приріст об’єму ΔV, за якого зміною тиску можна знехтувати, то можна використовувати цю формулу. Таким чином, розбиваючи інтервал V₂ - V₁ на малі інтервали ΔV, можна на кожному з них обчислювати елементарну роботу ΔΑ. Повну роботу газу при ізотермічному процесі можна визначити як суму елементарних робіт ΔΑ. Це означає, що робота дорівнює площі фігури, обмеженої віссю абсцис, двома ординатами р₁ і р₂ та ізотермою.

Мал. 134. Графічне обчислення роботи газу в ізотермічному процесі

Можна довести, що робота газу за будь-якого процесу дорівнює площі фігури, обмеженої двома ординатами, віссю абсцис і графіком цього процесу в координатах р, V.

Обчислимо роботу газу, що виконується під час замкненого циклу (мал. 135). У результаті переходу 1 → 2 робота газу A_1-2 дорівнює площі S₁ фігури, утвореної віссю абсцис, двома ординатами р₁ та р₂ та кривою 1-2. Ця робота додатна, оскільки об’єм газу збільшується. При переході 2 → 1 робота газу A_2-1 дорівнює площі S₂ фігури, утвореної віссю абсцис, двома ординатами р₁ і р₂ та кривою 2-1. Ця робота від’ємна, оскільки об’єм газу зменшується. Таким чином, робота газу за цикл дорівнює: A = A_1-2 - A_2-1 = S₁ - S₂.

Мал. 135. Обчислення роботи замкненого циклу

Фізичний зміст універсальної газової сталої. Зміна об’єму за сталого тиску супроводжується зміною температури тіла. Якщо в циліндрі під поршнем (мал. 132, с. 170) міститься ν = 1 моль ідеального газу, то робота під час його ізобарного нагрівання А_моль = pΔV_моль. Згідно з рівнянням Мендєєлева — Клапейрона pΔV_моль = RΔT або A_моль = RΔT. З одержаної рівності видно, що за ΔT = 1 K, R = A_моль. Отже, фізичний зміст універсальної газової сталої такий: універсальна газова стала R чисельно дорівнює роботі ізобарного розширення одного моля ідеального газу під час нагрівання його на 1 K.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Що розуміють під внутрішньою енергією тіла або термодинамічної системи?
2. Чим відрізняється внутрішня енергія реального газу від внутрішньої енергії ідеального газу й від яких параметрів вона залежить?
3. Моль якого газу — водню чи гелію — за однакової температури має більшу внутрішню енергію? Поясніть чому.
4. Наведіть приклад процесу, під час якого газ при стисканні нагрівається.
5. Чи виконується робота у процесі ізобарного стиснення або розширення газу?
6. Чому дорівнює робота газу під час ізохорного процесу?
7. Поясніть, як графічно визначають роботу: ізобарного розширення газу; ізотермічного розширення газу.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Ідеальний газ масою m, який мав температуру Т, охолоджується ізохорно так, що його тиск зменшується в n разів. Потім газ розширюється під сталим тиском. У кінцевому стані температура газу дорівнює початковій. Визначте виконану газом роботу. Вважайте, що молярна маса газу відома й дорівнює М.

Мал. 136

Задача 2. 4 молі газу здійснюють процес, зображений на малюнку 137, а, що на сторінці 174. На якій ділянці робота газу максимальна?

Розв’язання:

Накреслимо графік цього процесу в координатах р, V (мал. 137, б; с. 174). Для цього визначимо об’єм газу в точках 1, 2, 3 і 4.

Мал. 137

З малюнка 137, б видно, що на ділянці 2 → 3 робота не виконується, оскільки процес ізохорний. Отже, А_2-3 = 0. На ділянці 3 → 4 (ізобарний процес) робота визначається площею відповідного прямокутника: А_3-4 = р₃(V₄ - V₃), А_3-4 = 15 кДж. Ізотермічний процес відповідає ділянці 1 → 2. Площа, обмежена ізотермою 1 → 2, менша від площі трапеції 1-2-V₂ -V₁. А площа трапеції дорівнює 15 кДж, тобто вона дорівнює площі прямокутника, що відповідає ділянці 3 → 4. Таким чином, А_1-2 < А_3-4; А_2-3 = 0. Отже, робота газу найбільша на ділянці 3 → 4.

ВПРАВА 26

1. Визначте внутрішню енергію U гелію, що заповнює аеростат об’ємом V = 60 м 3 за тиску p = 100 кПа.

2. У результаті зменшення об’єму одноатомного газу в 3,6 раза його тиск збільшився на 20 %. У скільки разів змінилася внутрішня енергія?

3. У циліндрі під поршнем міститься повітря. Під час досліду вдвічі збільшились і об’єм повітря, і його абсолютна температура, тиск газу при цьому не змінився (відбувалося протікання повітря внаслідок нещільного прилягання поршня до стінок циліндра). У скільки разів змінилася внутрішня енергія повітря (повітря вважати ідеальним газом)?

4. Який тиск одноатомного газу, що займає об’єм 2 л, якщо його внутрішня енергія дорівнює 300 Дж?

5. Обчисліть збільшення внутрішньої енергії 2 кг водню в результаті підвищення його температури на 10 K.

Мал. 138

Мал. 139

Мал. 140

§ 39. Внутрішня енергія та робота ідеального газу

Обчислимо внутрішню енергію одноатомного ідеального газу. Оскільки молекули цього газу одна з одною не взаємодіють, то потенціальна енергія Е_п = 0. Уся внутрішня енергія складається з кінетичної енергії руху U = Е_к. За формулою Больцмана, середня енергія поступального руху одного атома

А оскільки кількість атомів

то внутрішня енергія одноатомного ідеального газу

Урахуємо, що kN_а = R.

Внутрішня енергія ідеального одноатомного газу пропорційна температурі й не залежить від об’єму та інших макропараметрів:

де m — маса всього газу, М — молярна маса, R — універсальна газова стала, Т — термодинамічна температура.

Зміна внутрішньої енергії ідеального газу сталої маси

відбувається тільки в разі зміни його температури Т.

де і — кількість ступенів свободи молекули.

Формула для визначення внутрішньої енергії ідеального газу залежить від кількості атомів у молекулі речовини (табл. 3).

Перетворення внутрішньої енергії в механічну і навпаки. Як відомо, робота виконується, якщо тіло переміщується (коли всі його частини здійснюють рух під дією сили в одному напрямку). Внутрішня енергія — це енергія хаотичного руху молекул. Відповідно для того, щоб за рахунок внутрішньої енергії виконувалась робота, необхідно якимось чином досягти упорядкованого руху молекул. Для цього найбільш зручно використовувати циліндр із рухомим поршнем (мал. 187). Рухаючи поршень вниз або вгору, ми будемо стискати або розширювати газ, у результаті чого буде змінюватись його внутрішня енергія.

Пояснимо, чому змінюється внутрішня енергія газу, якщо змінюється його об’єм.

Під час руху поршня в циліндрі молекули газу внаслідок пружних зіткнень з рухомим поршнем змінюють свою кінетичну енергію. Якщо поршень рухається назустріч молекулам, він передає молекулам у момент зіткнень частину своєї механічної енергії. (Пригадайте, у механіці ми розглядали задачі на пружну взаємодію тіл і розв’язували їх, застосовуючи закони збереження імпульсу та енергії.) У результаті збільшується кінетична енергія руху молекул, а отже, і температура газу. Таким чином, механічна робота, яку виконує поршень, перетворюється у внутрішню енергію газу. Кажуть, що зовнішні сили виконують роботу А'.

Обчислення роботи газу. Виконання роботи в термодинаміці пов’язане зі зміною об’єму термодинамічної системи. Зручніше обчислити не А' — роботу сили

що діє на газ з боку зовнішнього тіла (поршня), а А — роботу, яку виконує сам газ, діючи на поршень із силою

Згідно з третім законом Ньютона

Модуль сили, яка діє з боку газу на поршень, F = pS, де p — тиск газу, а S — площа поршня.

Мал. 18 7. До обчислення роботи газу під час: а — розширення; б — стискання

Нехай газ розширюється (мал. 187, а) і поршень пересувається в напрямку дії сили

на малу відстань Δh = h₂ - h₁. Якщо переміщення мале, то тиск газу можна вважати сталим (p = const). Робота газу A = FΔh = pS(h₂ - h₁) = p(Sh₂ - Sh₁). Оскільки Sh₁ = V₁ — початковий об’єм газу, а Sh₂ = V₂ — кінцевий, роботу газу можна записати через зміну об’єму газу: A = pΔV = p(V₂ - V₁).

Розширюючись, газ виконує додатну роботу, оскільки напрямок сили і напрямок переміщення поршня збігаються. Розширюючись, газ передає енергію навколишнім тілам.

Якщо газ стискається (мал. 187, б), тобто поршень пересувається у протилежному до сили

напрямку, то роботу газу визначають так само, але тепер А < 0, бо V₁ > V₂.

Робота А', яку виконують зовнішні сили над газом, відрізняється від роботи газу А лише знаком: А' = -А, оскільки

а переміщення поршня є тим самим. Робота зовнішніх сил, що діють на газ, дорівнює А' = -А = -рΔV.

Під час стискання V₁ > V₂, тобто ΔV < 0, і робота зовнішніх сил додатна, А' >0, напрямки сили та переміщення збігаються. Виконуючи над газом додатну роботу, зовнішні тіла передають йому енергію. Під час розширення, навпаки, робота зовнішніх сил — від’ємна, адже тепер напрямки сили й переміщення є протилежними.

Робота ідеального газу під час ізобарного процесу:

Графічний метод обчислення роботи. На малюнку 188 зображено процес ізобарного розширення газу в координатах р, V. Легко помітити, що для обчислення роботи газу достатньо визначити площу фігури під лінією графіка в цих координатах.

Мал. 188. Робота газу дорівнює площі прямокутника V₁ABV₂

Якщо процес ізохорний, робота термодинамічної системи A = 0, адже V = const.

Робота дорівнює площі фігури під графіком і для інших процесів, якщо вони зображені в координатах p, V. Наприклад, розглянемо графік ізотермічного процесу (мал. 189). ΔV відмінне від нуля, отже газ виконує роботу. Але формулу A = pΔV використовувати не можна, оскільки її виведено для сталого тиску, а в ізотермічному процесі тиск змінюється. Якщо ж взяти такий малий приріст об’єму ΔV, за якого зміною тиску можна знехтувати, то можна використовувати цю формулу. Таким чином, розбиваючи інтервал V₂ - V₁ на малі інтервали ΔV, можна на кожному з них обчислювати елементарну роботу ΔA. Повну роботу газу при ізотермічному процесі можна визначити як суму елементарних робіт ΔA. Це означає, що робота дорівнює площі фігури, обмеженої віссю абсцис, двома ординатами р₁ і р₂ та ізотермою.

Мал. 189. Графічне обчислення роботи газу в ізотермічному процесі

Обчислимо роботу газу, що виконується під час замкненого циклу (мал. 190). При переході 1 → 2 робота газу А _1-2 дорівнює площі 5 1 фігури, утвореної віссю абсцис, двома ординатами р₁ та р₂ та кривою 1-2. Ця робота додатна, оскільки об’єм газу збільшується. При переході 2 → 1 робота газу А_2-1 дорівнює площі S₂ фігури, утвореної віссю абсцис, двома ординатами р₁ і р₂ та кривою 2-1. Ця робота від’ємна, оскільки об’єм газу зменшується. Таким чином, робота газу за цикл дорівнює: А = А_1-2 - А_2-1 = S₁- S₂.

Мал. 190. Обчислення роботи замкненого циклу

Фізичний зміст універсальної газової сталої. Зміна об’єму за сталого тиску супроводжується зміною температури тіла. Якщо в циліндрі під поршнем (мал. 187) міститься ν = 1 моль ідеального газу, то робота під час його ізобарного нагрівання А_моль = рΔV_моль. Згідно з рівнянням Менделєєва — Клапейрона рΔV_моль = RΔТ або А_моль = RΔТ. З одержаної рівності видно, що за ΔТ = 1 К, R = А_моль. Отже, фізичний зміст універсальної газової сталої такий: універсальна газова стала R чисельно дорівнює роботі ізобарного розширення одного моля ідеального газу під час нагрівання його на 1 К.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Що розуміють під внутрішньою енергією тіла або термодинамічної системи?
2. Чим відрізняється внутрішня енергія реального газу від внутрішньої енергії ідеального газу й від яких параметрів вона залежить?
3. Моль якого газу — водню чи гелію — за однакової температури має більшу внутрішню енергію? Поясніть чому.
4. Наведіть приклад процесу, в якому газ при стисканні нагрівається.
5. Чи виконується робота у процесі ізобарного стиснення або розширення газу?
6. Чому дорівнює робота газу під час ізохорного процесу?
7. Поясніть, як графічно визначають роботу: ізобарного розширення газу; ізотермічного розширення газу.

Приклади розв’язування задач

Мал. 191

Задача 2. 4 молі газу здійснюють процес, зображений на малюнку 192, а. На якій ділянці робота газу максимальна?

Мал. 192

ВПРАВА 34

1. Визначте внутрішню енергію U гелію, що заповнює аеростат об’ємом V = 60 м 3 за тиску p = 100 кПа.

4. Який тиск одноатомного газу, що займає об’єм 2 л, якщо його внутрішня енергія дорівнює 300 Дж?

5. Обчисліть збільшення внутрішньої енергії 2 кг водню в результаті підвищення його температури на 10 K.

6. З одним молем гелію виконували дослід, під час якого середня квадратична швидкість руху атомів гелію збільшилась у 2 рази. За умовами досліду середня кінетична енергія атомів гелію залишалася пропорційною об’єму, який займає гелій. Визначте роботу, що виконує газ під час досліду. Вважайте гелій ідеальним газом, а значення середньої квадратичної швидкості руху молекул на початку досліду — 100 м/с.

7. З 2 молями ідеального газу здійснюють замкнений цикл (мал. 193). Яку роботу виконує газ, якщо

Мал. 193

8. З певною кількістю ідеального газу здійснюють замкнений цикл 1 → 2 → 3 → 1 (мал. 194). Визначте, на яких стадіях процесу газ одержував, а на яких — віддавав енергію. Побудуйте графік процесу в координатах р, V.

Мал. 194

9. З ідеальним газом проводять два цикли: 1 → 2 → 3 → 1 і 3 → 2 → 4 → 3 (мал. 195). У якому з них газ виконує більшу роботу?

Мал. 195

10. У горизонтальному циліндрі з поршнем міститься 0,1 моль гелію. Поршень утримується затворами й може ковзати без тертя вздовж стінок циліндра. Кулька масою 10 г, що летить горизонтально зі швидкістю 400 м/с, потрапляє в поршень і застряє в ньому. Температура гелію в момент зупинки поршня зростає до 64 К. Визначте масу поршня. Вважайте, що за час руху поршня газ не встигає обмінятись теплом з поршнем і циліндром.

Що відбувається з внутрішньою енергією газу при його розширенні

Розглянемо газ, що перебуває під поршнем в циліндрі. Якщо газ, розширюючись, пересуває поршень на нескінченно малу відстань , то газ робить над поршнем роботу.

де S - площа поршня .

Повна робота А, чинена газом при зміні об'єму від V₁ до V₂ рівна

§ 3 С_р, C_V і зв'язок між ними (рівняння Майера)

Запишемо вираження I початку термодинаміки для 1 моля газу

Якщо газ нагрівається при постійному об'ємі (V = const, d V = 0), то А = 0, і теплота, що надається газу, іде тільки на збільшення його внутрішньої енергії

тобто молярна теплоємність газу при постійному об'ємі C_V дорівнює зміні внутрішньої енергії 1 моля газу при збільшенні температури на 1 К.

Якщо газ нагрівається при постійному тиску p = const

тому що не залежать від виду процесу (внутрішня енергія не залежить від р і V, а визначається лише температурою Т ) і

З рівняння Менделєєва-Клапейрона

Рівняння Майера показує, що С_р завжди більше C _V на величину універсальної газової постійної R, тому що при p = const потрібне додаткова кількість теплоти на здійснення роботи розширення газу, тому що сталість тиску забезпечується збільшенням об'єму газу

представляє характерну для кожного газу величину. Для одноатомних газів , для двохатомних - 7/5 , для трьохатомних – 4/3 .

§4 I початок термодинаміки,

Q, U, A для ізопроцесів

т.т. уся кількість теплоти, що надається газу, витрачається на здійснення їм роботи проти зовнішніх сил

щоб при роботі розширення температура не змінювалася, до газу протягом ізобарного процесу необхідно підводити кількість теплоти, еквівалентну зовнішньої роботі розширення.

2. Ізобаричний процесс. p = const m = const

З рівняння Менделєєва-Клапейрона для стану 1 і 2:

Фізичний зміст R: R чисельно дорівнює роботі при нагріванні 1 моля газу на 1 К (T₂ - T₁ = 1 K) при ізобаричному процесі.

тепло, підведене до газу, іде на зміну його внутрішньої енергії й здійснення роботи.

3.Изохорический процес. V = const, m = const.

Уся теплота, що надається газу, іде на зміну його внутрішньої енергії.

§5 Адіабатичний процес.

Політропний процес

Адіабатичним називається процес, що протікає без теплообміну із зовнішнім середовищем. До адіабатичних можна віднести всі швидко минуючи процеси. Наприклад, адіабатним процесом можна вважати процес поширення звуку в середовищі, тому що швидкість поширення звуку настільки велика, що обмін енергією між хвилею й середовищем відбутися не встигає. Адіабатичні процеси застосовуються у двигунах внутрішнього згоряння, холодильних установках і ін.

Знайдемо рівняння, що зв'язує параметри ідеального газу при адіабатному процесі.

Запишемо I початок термодинаміки.

Для адіабатичного процесу

т.т. зовнішня робота відбувається за рахунок зміни внутрішньої енергії системи.

З рівняння Менделєєва-Клапейрона виразимо р

Перепишемо у вигляді:

Рівняння Пуассона (рівняння адіабати в координатах р і V):

показник адіабати (або коефіцієнт Пуассона).

p V = const - рівняння ізотерми, тому що γ > 1, то адіабата йде крутіше, чим ізотерма. Це пояснюється тим, що при адіабатичному стиску 1-3 збільшення тиску газу обумовлене не тільки зменшенням його об'єму, як при ізотермічному стиску, але й підвищенням температури

Обчислимо роботу чинену газом в адіабатичному процесі.

I початок термодинаміки для адіабатичного процесу

Якщо газ адіабатично розширюється від об'єму V₁ до V₂, то його температура зменшується від Т₁ до Т₂ і робота розширення ідеального газу

Робота, чинена газом при адіабатичному розширенні 1-2 дорівнює площі, заштрихованої на рисунку й вона менше, чим робота при ізотермічному розширенні. Це пояснюється тим, що при адіабатичному розширенні відбувається охолодження газу, тоді як при ізотермічному розширенні температура підтримується постійної за рахунок припливу ззовні еквівалентної кількості теплоти.

Розглянуті ізохорний, ізобаричний, ізотермічний і адіабатичний процеси мають загальну особливість – вони протікають при постійній теплоємності (C_V, C_P, C_T= ∞, C_A=0). У перших двох процесах теплоємності відповідно рівні С _V і C_р в ізотермічному процесі (d T = 0) С_T = ∞, в адіабатичному процесі δQ = 0 і C_A=0.