Що таке рівняння: визначення, рішення, приклади

У цій публікації ми розглянемо, що таке рівняння, і що означає його вирішити. Подана теоретична інформація супроводжується практичними прикладами для кращого розуміння.

Визначення рівняння

Рівняння - Це рівність, що містить невідоме число, яке потрібно знайти.

Це число зазвичай позначається маленькою латинською літерою (найчастіше – x , y або z ) і називається змінної рівняння.

Інакше кажучи, рівність є рівнянням лише тому випадку, коли містить букву, значення якої потрібно обчислити.

Приклади найпростіших рівнянь (одна невідома та одна арифметична дія):

У складніших рівняннях змінна може зустрічатися кілька разів, також, у яких можуть бути дужки і складніші математичні операції. Наприклад:

Також, у рівнянні може бути кілька змінних, наприклад:

Корінь рівняння

Допустимо, у нас є рівняння .

Воно звертається у правильну рівність при . Це значення (число) і є коренем рівняння.

Розв'язати рівняння - Це означає знайти його корінь або коріння (залежно від кількості змінних), або довести, що їх немає.

Як правило, корінь пишеться так: . Якщо коріння кілька, вони просто перераховуються через кому, наприклад: , .

Примітки:

1. Деякі рівняння можуть бути нерозв'язними.

Наприклад: . Яке б ми число не підставили замість x , Отримати правильну рівність не вдасться. У цьому випадку у відповіді пишеться: "Рівняння не має коренів".

2. Деякі рівняння мають безліч коренів.

Наприклад: . У разі рішенням є будь-яке число, тобто. , , , де N , Z і R – це натуральні, цілі та дійсні числа, відповідно.

Рівносильні рівняння

Рівняння, що мають те саме коріння, називаються рівносильними.

Наприклад: та . В обох рівнянь рішенням є два, тобто. .

Основні рівносильні перетворення рівнянь:

1. Перенесення якогось складового з однієї частини рівнянь до іншої зі зміною його знака на протилежний.

Наприклад: 3x + 7 = 5 рівносильно.

2. Множення/поділ обох частин рівняння на те саме число, що не дорівнює нулю.

Наприклад: 4x - 7 = 17 рівносильно.

Рівняння також не зміниться, якщо до обох його частин додати/відібрати одне і те ж число.

3. Приведення подібних доданків.

Наприклад: 2x + 5x - 6 + 2 = 14 рівносильно.

Публікації на тему:

• Таблиця логарифмів
• Натуральний логарифм числа
• Теорема Вієта: для квадратного/кубічного рівняння, зворотна
• Факторіали натуральних чисел
• Геометрична прогресія: визначення, формули, властивості
• Основне логарифмічне тотожність
• Логарифм твору (сума логарифмів)
• Логарифм поділу (приватного) або різниця логарифмів
• Квадрат різниці: формула та приклади
• Різниця квадратів: формула та приклади
• Куб суми: формула та приклади
• Велика теорема Ферма
• Мала теорема Ферма
• Приведення дробів до спільного знаменника
• Знаходження найменшого загального кратного
• Знаходження найбільшого спільного дільника
• Розподіл звичайних дробів
• Розподіл числа на звичайний дріб
• Знаходження дробу від числа та навпаки
• Розподіл десяткового дробу на звичайний і навпаки
• Поділ натурального числа на десятковий дріб
• Розмноження звичайного дробу на десятковий: правило, приклади
• Що таке модуль дійсного числа
• Основні властивості модуля дійсного числа
• Порівняння модулів дійсних чисел
• Модуль комплексного числа z: визначення, властивості
• Тотожність та тотожні вирази
• Тотожні перетворення виразів
• Іменні назви ступенів тисячі
• Що таке лінійна функція: визначення, формула, графік
• Показова функція: визначення, формула, властивості, графік
• Ступінна функція: визначення, формула, види графіків
• Квадратний корінь: визначення, приклади, властивості, графік
• Розв'язання рівнянь з одним невідомим (змінною)
• Позитивні та негативні числа
• Розмноження комплексних чисел
• Розподіл комплексних чисел
• Додавання та віднімання комплексних чисел
• Що таке комплексно пов'язані числа
• Що таке матриця
• Види матриць із прикладами
• Знаходження визначника (детермінанта) матриці
• Розмноження матриці на число
• Мінор матриці: визначення, приклад
• Алгебраїчне доповнення матриці
• Еквівалентні перетворення матриці
• Ранг матриці: визначення, методи знаходження
• Що таке область визначення функції
• Що таке область значень функції
• Метод Крамера для вирішення СЛАУ

Рівняння та його коріння

Рівнянням називають рівність, у якій одна із змінних невідома, і її потрібно знайти. Значення цієї невідомої має бути таким, щоб рівність була правильною.

Наприклад: 3+4=7 це числова рівність, при обчисленні якого з лівого боку виходить 7=7.

Рівнянням буде називатися така рівність: 3+х=7, оскільки є невідома змінна х, її значення можна знайти.

З цього рівняння випливає, що змінна х=4, лише за його значення рівність 3+х=7, буде правильним.

Невідомі змінні прийнято писати як маленьких латинських літер, можна будь-якими, але частіше використовують x,y,z.

Виходить, щоб рівність зробити рівнянням необхідно, щоб у ньому була буква, значення якої невідоме.

Як ми розуміємо, існує безліч прикладів рівнянь з різними арифметичними діями.

Приклад: х + 5 = 1 = 9; z - 2 = 7; 9 * y = 18, 6: f = 2

Крім цього, існують рівняння з дужками. До таких рівнянь відноситься 8: (х - 4) = 2 * (8 - х), невідомих може бути кілька, вони можуть бути, як зліва рівняння, так і праворуч або в обох частинах.

Крім таких простих рівнянь вони можуть бути з корінням, логарифмами, ступенями тощо.

Рівняння може містити кілька змінними, тоді їх прийнято називати відповідно рівняннями з двома, трьома і більш змінними.

3 * а = 15 : х - рівняння з двома змінними:

8 - а = 5 * х - z - рівняння з трьома змінними.

Корінь рівняння

Ми часто чуємо фразу під час уроків математики, «знайдіть корінь рівняння», давайте розберемося, що це значить.

У прикладі 3+х=7, можна уявити замість букви число, і рівняння тоді стане рівністю, воно може бути або вірним, або невірним, якщо поставити х=3, то первинна рівність набуде вигляду 3+3 = 7 і стане невірною, а якщо х= 4 то рівність 3+4=7 буде правильною, отже х = 4 буде називатися корінням або інакше рішенням рівняння 3+х=7.

Визначення.

Звідси можна виділити таке визначення: корінь рівняння — це таке значення невідомої змінної, коли числова рівність буде вірним.

Варто відзначити, що коріння може бути кілька або не зовсім.

Розглянемо докладніше приклад, який не матиме коріння. Таким прикладом стане 0 * х = 7, скільки б чисел ми сюди не підставляли рівність не буде вірним, оскільки помножуючи на нуль буде нуль, а не 7.

Але існують і рівняння з множиною коренів, наприклад, х - 3 = 6, в такому рівнянні тільки один корінь 9, а в рівнянні квадратного вигляду х2 = 16, два корені 4 і -4, можна навести приклад і з трьома корінням х * (х - 1) * (х - 2) = 0, в даному випадку три рішення нуль, два і один.

Щоб правильно записати результат рівняння ми пишемо так:

• Якщо кореня немає, пишемо рівняння коренів немає;
• Якщо є їх кілька, вони або прописуються через коми, або у фігурних дужках, наприклад, так: ;
• Ще одним варіантом написання коренів, вважається запис у вигляді простої рівності, наприклад невідома х а коріння 3,5 тоді результат прописується так: х = 3, х = 5.
• або додаючи індекс знизу 1 = 3, х2 = 5. даним способом вказується номер кореня;
• Якщо рішень рівняння безліч, то запис буде або у вигляді числового проміжку від і до, або загальноприйнятими позначеннями. безліч натуральних чисел N, цілих – Z, дійсних – R.

Якщо рівняння має два і більше коренів, то частіше використовується поняття рішення рівняння. Розглянемо визначення рівняння з кількома змінними.

Рішення рівняння з двома і більше змінними означає, що ці кілька значень перетворюють рівняння на правильну рівність.

Припустимо, що ми маємо наступне рівняння х + а = 5, таке рівняння має дві змінні. Якщо ми поставимо замість них числа 3 і 6, то рівність не буде вірною, відповідно і дані числа не є рішенням для цього прикладу. А якщо взяти числа 2 і 3, то рівність перетвориться на вірну, а числа 2 і 3 будуть рішенням рівняння. Представлені рівняння з декількома змінними теж можуть або не мати кореня взагалі або навпаки мати безліч рішень.

Правила знаходження коріння

Таких правил існує дещо розглянемо їх нижче.

Приклад 1

Допустимо, ми маємо рівняння 4 + х = 10, щоб знайти корінь рівняння або значення х в даному випадку необхідно знайти невідоме доданок, для цього є наступне правило або формула. Для знаходження невідомого доданка, потрібно від суми відняти відоме значення.

Рішення:

Щоб перевірити, чи є 6 рішенням, ми ставимо його на місце невідомої змінної х у вихідне рівняння, отримуємо наступну рівність 4 + 6 = 10, така рівність є вірною, що означає число кореня рівняння, що дорівнює 6.

Приклад 2

Візьмемо рівняння виду х - 5 = 3, в даному прикладі х це невідоме зменшуване, для того щоб його знайти необхідно дотримуватися наступного правила:

Для знаходження зменшуваного необхідно скласти різницю та віднімання.

Рішення:

Перевіряємо правильність знаходження кореня рівняння, підставляємо, замість змінної невідомої, знайдене число 8, отримуємо рівність 8 - 5 = 3, оскільки воно правильне, то й корінь рівняння знайдено правильно.

Приклад 3

Беремо рівняння, в якому невідоме х буде віднімати наприклад: 8 - х = 4. для того щоб знайти х необхідно скористатися правилом:

Для знаходження віднімається, потрібно зменшуваного відняти різницю.

Рішення:

Перевіряємо правильність знаходження кореня рівняння, для цього отримане значення ставимо замість невідомого віднімається у вихідний приклад, і отримуємо наступну рівність 8 - 4 = 4, рівність вірна, значить і корінь знайдено правильно.

Нема часу вирішувати самому?

Рівняння - визначення та обчислення з прикладами рішення

Коренем (або рішенням) рівняння з однією змінною називається значення змінної, при підстановці якого рівняння виходить правильне рівність.

Вирішити рівняння - значить знайти все його коріння або довести, що їх нет

- Корінь рівняння , так як при отримуємо правильну рівність: , тобто

2. Область допустимих значень (ОДЗ)

Областю допустимих значень (або областю визначення) рівняння називається загальна область визначення для функцій і , що стоять у лівій та правій частинах рівняння

Для рівняння ОДЗ: , тобто , оскільки область визначення функції визначається умовою: , а область визначення функції - безліч усіх дійсних чисел

3. Рівняння-наслідки

Якщо кожен корінь першого рівняння є коренем другого, друге рівняння називається наслідком першого рівняння.

Якщо з правильності першої рівності випливає правильність кожного наступного, отримуємо рівняння-наслідки.

При використанні рівнянь-наслідків не відбувається втрати коріння вихідного рівняння, але можлива поява сторонніх коренів. Тому при використанні рівнянь-наслідків перевірка отриманих коренів підстановкою їх у вихідне рівняння є складовою рішення.

Приклад:

Рішення:

► Звести обидві частини рівняння у квадрат:

Перевірка - корінь (див. вище); - сторонній корінь (при отримуємо неправильну рівність).

4. Рівносильні рівняння

Визначення:

Два рівняння називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одне і те ж коріння.

Тобто кожен корінь першого рівняння є коренем другого рівняння і навпаки кожен корінь другого рівняння є коренем першого рівняння. (Схема розв'язання рівнянь за допомогою рівносильних перетворень наведена у пункті 5 цієї таблиці)

Найпростіші теореми

1. Якщо з однієї частини рівняння перенести до іншої складові з протилежним знаком, то отримаємо рівняння, рівносильне заданому (на будь-якій множині)
2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю (або на одну і ту ж функцію, яка визначена і не дорівнює нулю на ОДЗ заданого рівняння), то отримаємо рівняння, рівносильне заданому (на ОДЗ заданого рівняння)

5. Схема пошуку плану розв'язання рівнянь

- Рівняння, отримане в результаті перетворення вихідного;

- символічні зображення напряму виконаних перетворень

Застосування властивостей функцій вирішення рівнянь розглянуто у пункті 3.2.

Пояснення та обґрунтування:

Поняття рівняння та його коріння

Рівняння в математиці найчастіше розуміють як аналітичну запис завдання знаходження значень аргументу, у яких значення двох даних функцій рівні. Тому у загальному вигляді рівняння з однією змінною записують так:

Часто рівняння визначають коротше як рівність зі змінною.

Нагадаємо, що коренем (або рішенням) рівняння з однією змінною називається значення змінної, при підстановці якого рівняння виходить правильна рівність. Вирішити рівняння - значить знайти все його коріння або довести, що їх немає.

Наприклад, рівняння має єдиний корінь

а рівняння немає коренів, оскільки значення може бути негативним числом.

Область допустимих значень (ОДЗ) рівняння

Якщо встановлено рівняння , то загальна область визначення для функцій і називається областю допустимих значень цього рівняння. (Іноді використовуються також терміни «область визначення рівняння» або «безліч допустимих значень рівняння».) Наприклад, для рівняння областю допустимих значень є всі дійсні числа. Це можна записати, наприклад, так: оскільки функції і мають області визначення .

Зрозуміло, кожен корінь цього рівняння належить як області визначення функції , і області визначення функції (інакше ми зможемо отримати правильне числове рівність). Тому кожен корінь рівняння обов'язково належить ОДЗ цього рівняння. Це дозволяє в деяких випадках застосувати аналіз ОДЗ рівняння за його розв'язання.

Наприклад, у рівнянні функція визначена за всіх дійсних значеннях , а функція лише за умови, що під знаком квадратного кореня стоятимуть негативні вирази. Отже, ОДЗ цього рівняння задається системою, з якої отримуємо систему, що не має рішень. Таким чином, ОДЗ цього рівняння не містить жодного числа, і тому це рівняння не має коріння.

Зауважимо, що знаходження ОДЗ цього рівняння може бути корисним для його розв'язання, але не завжди є обов'язковим елементом розв'язання рівняння.

Методи вирішення рівнянь

Для вирішення рівнянь використовують методи точного та наближеного рішень. А саме, для точного вирішення рівнянь у курсі математики 5-6 класів використовувалися залежності між компонентами та результатами дій та властивості числових рівностей; у курсі алгебри 7-9 класів — рівносильні перетворення рівнянь, а наближеного рішення рівнянь — графічний метод.

Графічний метод розв'язання рівнянь не дає високої точності знаходження коріння рівняння, і з його допомогою найчастіше можна отримати лише грубі наближення коренів. Іноді зручно графічно визначити кількість коренів рівняння або знайти межі, в яких знаходяться це коріння. У деяких випадках можна графічно довести, що рівняння не має коріння. З зазначених причин у шкільному курсі алгебри та почав аналізу під вимогою «вирішити рівняння» розуміється вимога «використовуючи методи точного вирішення, знайти коріння даного рівняння». Наближеними методами розв'язання рівнянь можна користуватися лише тоді, коли про це йдеться в умові задачі (наприклад, якщо ставиться завдання розв'язати рівняння графічно).

В основному при вирішенні рівнянь різних видів нам доведеться застосовувати один із двох методів розв'язання. Перший у тому, що це рівняння замінюється простішим рівнянням, мають ті ж коріння,— рівносильним рівнянням. У свою чергу, отримане рівняння замінюється ще більш простим, рівносильним йому, і т. д. В результаті отримуємо найпростіше рівняння, яке рівносильно заданому і коріння якого легко знаходиться. Це коріння і тільки воно є корінням даного рівняння.

Другий метод розв'язання рівнянь полягає в тому, що дане рівняння замінюється більш простим рівнянням, серед коренів якого знаходяться всі коріння даного, тобто так званим рівнянням-наслідком. У свою чергу, отримане рівняння замінюється ще більш простим рівнянням-наслідком, і так далі, доки не отримаємо найпростіше рівняння, коріння якого легко знаходиться. Тоді все коріння цього рівняння знаходиться серед коренів останнього рівняння.Тому, щоб знайти коріння даного рівняння, достатньо коріння останнього рівняння підставити в дане та за допомогою такої перевірки отримати коріння даного рівняння (і виключити так звані стороннє коріння — те коріння останнього рівняння, яке не задовольняє заданому).

У наступному пункті буде показано застосування властивостей функцій до вирішення рівнянь певного виду.

Рівняння-наслідки

Розглянемо детальніше, як можна розв'язувати рівняння за допомогою рівнянь-наслідків. При вирішенні рівнянь головне — не втратити коріння цього рівняння, і тому в першу чергу ми повинні стежити, щоб кожен корінь вихідного рівняння залишався коренем наступного. Фактично це і є визначення рівняння-наслідку:

у разі, коли кожен корінь першого рівняння є коренем другого, друге рівняння називається наслідком першого.

Це визначення дозволяє обґрунтувати такий орієнтир: для отримання рівняння-наслідки достатньо розглянути дане рівняння як правильну числову рівність і гарантувати (тобто мати можливість обґрунтувати), що кожне наступне рівняння ми можемо отримати як правильну числову рівність.

Дійсно, якщо дотримуватися цього орієнтира, то кожен корінь першого рівняння звертає це рівняння у вірну числову рівність, але тоді й друге рівняння буде правильною числовою рівністю, тобто значення змінної, що розглядається, є коренем і другого рівняння, а це і означає, що друге рівняння є наслідком першого.

Застосуємо наведений орієнтир до рівняння (поки що не використовуючи певну умову рівності дробу нулю).

Якщо правильно те, що дріб дорівнює нулю, то обов'язково його чисельник дорівнює нулю.Таким чином, із заданого рівняння отримуємо рівняння-наслідок. Але тоді вірно, що . Останнє рівняння має два корені: і . Підставляючи їх у задане рівняння, бачимо, що тільки корінь задовольняє вихідне рівняння. Чому це сталося?

Це тому, що, використовуючи рівняння-наслідки, ми гарантуємо лише те, що коріння заданого рівняння не губиться (кожен корінь першого рівняння є коренем другого). Але друге рівняння, крім коріння першого рівняння, має ще й інший корінь, який не є коренем першого рівняння. Для першого рівняння цей корінь є стороннім, і щоб його відсіяти, виконується перевірка підстановкою коренів у вихідне рівняння. (Найбільш повно причини появи сторонніх коренів розглянуті в таблиці 9.) Таким чином, щоб правильно застосовувати рівняння-наслідки для вирішення рівнянь, необхідно пам'ятати ще один орієнтир: при використанні рівнянь-наслідків можлива поява стороннього коріння, і тому перевірка підстановкою коренів у вихідне рівняння є складовою рішення.

Схема застосування цих орієнтирів наведена в таблиці 8. У пункті 3 цієї таблиці наведено рішення рівняння

Для вирішення цього рівняння за допомогою рівнянь-наслідків достатньо дане рівняння розглянути як правильну числову рівність і врахувати, що у випадку коли два числа рівні, то їх квадрати також будуть рівні:

Тобто ми гарантуємо, що якщо рівність (1) вірна, то й рівність (2) також буде вірною, а це означає (як було показано вище), що рівняння (2) є наслідком рівняння (1).Якщо ми хоча б один раз використовували рівняння-наслідки (а не рівносильні перетворення), то можемо отримати сторонні корені, і тоді рішення обов'язково входить перевірка отриманих коренів підстановкою їх в задане рівняння.

Зауваження. Перехід від цього рівняння до рівняння-наслідку можна позначити спеціальним значком, але його використання для запису рішення не є обов'язковим. Разом з тим, якщо цей значок записаний, це свідчить про те, що ми скористалися рівняннями-наслідками, і тому обов'язково в запис рішення необхідно включити перевірку отриманого коріння.

Рівносильні рівняння

З поняттям рівносильності ви знайомі ще з курсу алгебри 7 класу, де рівносильними називалися ті рівняння, які мали те саме коріння. Зауважимо, що рівносильними вважалися такі два рівняння, які мали коренів. Формально вважатимемо, що і в цьому випадку рівняння мають те саме коріння, оскільки відповіді до таких рівнянь однакові: «рівняння не мають коріння» (точніше: однаковими є безлічі коренів таких рівнянь — вони обидва порожні, що позначається символом ).

В курсі алгебри і почав аналізу ми розглядатимемо більш загальне поняття рівносильності, а саме: рівносильність на певній множині.

Два рівняння називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одне і те ж коріння, тобто кожен корінь першого рівняння є коренем другого і, навпаки, кожен корінь другого рівняння є коренем першого.

Для рівнянь, заданих на безлічі всіх дійсних чисел (наприклад, для лінійних), ми можемо однозначно дати відповідь на запитання: «Чи рівні дані рівняння?» Наприклад, рівняння і — рівносильні, оскільки обидва мають однаковий корінь та інших коренів не мають. Таким чином, кожне з них має ті ж самі рішення, що й друге. При розгляді рівносильності рівнянь на множині, яка відрізняється від множини всіх дійсних чисел, відповідь на запитання «Чи рівні дані рівняння?». може суттєво залежати від того, на якій множині ми розглядаємо ці рівняння. Наприклад, якщо розглянути рівняння:

те, як було показано вище, рівняння (3) має єдиний корінь, а рівняння (4) - два корені: і . Таким чином, на безлічі

всіх дійсних чисел ці рівняння є рівносильними, оскільки в рівняння (4) є корінь , якого немає в рівняння (3). Але на безлічі позитивних дійсних чисел ці рівняння рівносильні, оскільки на цій множині рівняння (3) має єдиний позитивний корінь і рівняння (4) також має єдиний позитивний корінь. Отже, на безлічі позитивних чисел кожне з цих рівнянь має самі рішення, як і друге.

Вкажемо, що множина, на якій розглядається рівносильність рівнянь, як правило, не задається штучно (як в останньому випадку), а найчастіше такою множиною є ОДЗ вихідного рівняння. Домовимося, що далі

всі рівносильні перетворення рівнянь (а також нерівностей і систем рівнянь і нерівностей) ми виконуватимемо на ОДЗ вихідного рівняння (нерівності чи системи).

Зазначимо, що в тому випадку, коли ОДЗ заданого рівняння є безліч усіх дійсних чисел, ми не завжди її записуватимемо (як не записували ОДЗ при вирішенні лінійних або квадратних рівнянь). І в інших випадках головне — не записати ОДЗ у вирішення рівняння, а реально врахувати її під час виконання рівносильних перетворень цього рівняння.

Наприклад, рівняння задається нерівністю . Коли ми переходимо до рівняння, то для всіх його коренів це рівняння є правильною рівністю. Тоді вираз , що стоїть у правій частині цієї рівності, завжди неотрицательно ( ), отже, і однакове вираз також буде неотрицательным: . Але це й означає, що ОДЗ даного рівняння ( ) враховано автоматично для всіх коренів другого рівняння і тому при переході від рівняння до рівняння ОДЗ заданого рівняння можна записувати в рішення.

Для виконання рівносильних змін спробуємо виділити загальні орієнтири, аналогічні відповідним орієнтирам отримання рівнянь-наслідків. Як зазначалося вище, виконуючи рівносильні перетворення рівнянь, необхідно врахувати ОДЗ цього рівняння — це перший орієнтир для виконання рівносильних перетворень рівнянь. За визначенням рівносильності рівнянь необхідно гарантувати, щоб кожен корінь першого рівняння був коренем другого і, навпаки, кожен корінь другого рівняння був коренем першого. Для першої частини цієї вимоги ми вже виділили загальний орієнтир: достатньо гарантувати збереження правильності рівності під час переходу від першого рівняння до другого.

Але тоді, щоб виконати другу частину цієї вимоги, достатньо друге рівняння розглянути як правильну рівність (тобто взяти таке значення змінної, яка є коренем другого рівняння) та гарантувати, що при переході до першого вірна рівність зберігається (цей корінь залишається і коренем першого рівняння ). Фактично з визначення рівносильності рівнянь отримуємо, що кожне з рівносильних рівнянь є наслідком іншого рівняння). Таким чином, при виконанні рівносильних перетворень ми повинні гарантувати збереження правильності рівності на кожному кроці розв'язання не тільки за прямих, але й за зворотних перетворень — це другий орієнтир для вирішення рівнянь за допомогою рівносильних перетворень. (Відповідні орієнтири схематично представлені у пункті 5 табл. 8.)

Наприклад, щоб вирішити за допомогою рівносильних перетворень рівняння досить врахувати його ОДЗ: і умова рівності дробу нулю (дроб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю). Також слід звернути увагу на те, що на ОДЗ усі необхідні перетворення можна виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням правильності рівності.

Запис рішення у цьому випадку може бути таким:

. ОДЗ: . Тоді. Звідси (задовольняє умові ОДЗ) або (не задовольняє умову ОДЗ).

Для виконання рівносильних змін рівнянь можна також користуватися спеціальними теоремами про рівносильність. У зв'язку з уточненням визначення рівносильності рівнянь узагальним також формулювання найпростіших теорем про рівносильність, відомих з курсу алгебри 7 класу.

Теорема 1. Якщо з однієї частини рівняння перенести в іншу частину доданки з протилежним знаком, то отримаємо рівняння, рівносильне заданому (на будь-якій множині).

Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, не рівне нулю (або на ту саму функцію, яка визначена і не дорівнює нулю на ОДЗ заданого рівняння), то отримуємо рівняння, рівносильне заданому (на ОДЗ заданого).

Обгрунтування цих теорем цілком аналогічне обґрунтування орієнтирів для рівносильних перетворень даного рівняння.

Зауваження. Для позначення переходу від даного рівняння до рівносильного рівняння можна застосовувати спеціальний значок , але його використання при записі рішень не є обов'язковим. Наприклад, запис рішення останнього із розглянутих рівнянь може бути таким.

Приклад №423

Рішення: