Рівновага Неша. Теорія Джона Неша

Математик Джон Форбс Неш напевно відомий багатьом по драмі Рона Ховарда.Ігри розуму», в якій роль геніального математика, який страждає на шизофренію, виконав Рассел Кроу. Але мало хто знає, що дослідження, які прославили Неша, стосувалися ігор із нульовою сумою.

Покер якраз і є грою з нульовою сумою (якщо не брати до уваги рейк), тому роботи Неша знайшли своє застосування і в покерній математиці. Так вийшло, що Неш, який ніколи не грав у покер, став «батьком» покерної математики.

Рівновагою Неша у покері — така ситуація, коли зміна стратегії одного з гравців не може збільшити його виграш за незмінності стратегій інших гравців.

Однак досягти рівноваги Неша в покері практично неможливоОскільки вибір рішень настільки великий, що навіть найсучасніші комп'ютери не здатні обробляти їх. Тому про рівновагу Неша говорять у найпростіших дисциплінах покеру, таких як гіпер-турбо і хедс-ап. Для ще більшого спрощення діапазон рішень скорочують до пуша чи фолду.

Уявімо тепер, що нам стало відомо як зі стратегією гарматою суперника. Виходячи з неї ми розрахували оптимальну стратегію колів. У свою чергу, опонент змінив свою стратегію пушкою на оптимальну для спектру наших колів. Неш довів, що рано чи пізно виникне ситуація, коли спектри пуша та колла будуть оптимальні один для одного. Тобто, якщо хтось змінить свою стратегію, то його очікування знизиться. Це буде рівновагою Неша. На основі робіт Неша були створені спеціальні чарти, що реалізують стратегію в покері, що відповідає рівновазі Неша в математиці покеру Читай.

Як Джон Неш змінив теорію ігор і надихнув економіку, біологію та технології

Документ, що лежить в основі статті, є стенограмою семінару, присвяченого вкладу Джона Неша в теорію ігор. Основні учасники — видатні вчені з математики, економіки та біології, такі як Гарольд Кун, Джон Харшаньї, Рейнхард Зельтен та інші. У центрі уваги – досягнення Неша у розробці концепцій рівноваги для кооперативних та некооперативних ігор, а також їх вплив на сучасні економічні та біологічні теорії.

Вступ

Теорія ігор, як окрема дисципліна, набула популярності завдяки книзі Джона фон Неймана та Оскара Моргенштерна «Теорія ігор та економічна поведінка», опублікованій у 1944 році. Проте фундаментальна робота Джона Неша у сфері некооперативних ігор стала каталізатором її розвитку. На семінарі обговорюється, як його дослідження призвели до створення математичної моделі взаємодій, де кожен учасник прагне максимальної вигоди, беручи до уваги стратегії інших.

Історичний контекст

На початку семінару Гарольд Кун наголосив на історичній значущості роботи Джона Неша. Він нагадав, що публікація книги фон Неймана та Моргенштерна у 1944 році заклала основу для математичного підходу до аналізу економічних взаємодій. Проте теорія ігор на той час була надто абстрактною застосування в економіці, оскільки акцентувала увагу двоперсональних іграх з нульової сумою. Це обмежувало її застосування в реальному житті.

Кун зазначив, що Джон Неш, який прибув до Прінстонського університету 1948 року, вніс революційні зміни. Його робота дозволила перейти від складних математичних моделей фон Неймана до більш універсальних концепцій рівноваги.Його досягнення — доказ існування рівноваги у будь-якій кінцевій грі стало ключовим моментом у розвитку теорії.

Ранні досягнення Неша

Неш виявив талант ще студентом. Його перша велика робота стосувалася завдань з теорії переговорів. Незважаючи на те, що він був незнайомий із працями фон Неймана та Моргенштерна, він запропонував елегантну модель, що базується на чотирьох аксіомах:

1. Інваріантність щодо лінійних перетворень утиліт.
2. Ефективність у сенсі Парето.
3. Незалежність від неактуальних альтернатив.
4. Симетричність рішень для рівних умов.

Ця модель дозволила вивести унікальне рішення переговорного завдання, максимізуючи добуток корисностей учасників.

Дисертація Неша

Ключовий внесок Неша полягав у його дисертації, яка була завершена у 1950 році під керівництвом професора Альберта Такера. У роботі він ввів поняття рівноваги Неша для некооперативних ігор, довівши його існування. Це стало основою для аналізу стратегій економіки, політики та біології.

Поділ ігор на кооперативні та некооперативні

Джон Неш став першим, хто чітко розмежував кооперативні та некооперативні ігри. У кооперативних іграх учасники можуть укладати обов'язкові угоди та використовувати загрози, щоб змусити інших дотримуватись певних стратегій. У некооперативних іграх таких механізмів немає, і кожен гравець діє виключно в рамках власних інтересів.

Для некооперативних ігор Неш розробив концепцію рівноваги, яка тепер відома як "рівновага Неша". У роботі він довів існування таких рівноваг всім кінцевих ігор. Ця ідея стала наріжним каменем сучасної теорії ігор та знайшла застосування у різних дисциплінах, від економіки до біології.

Рішення для кооперативних ігор

Для кооперативних ігор Неш запропонував модель, відому як "рівновагу Неша". Вона описує спосіб поділу виграшу між двома гравцями так, щоб максимізувати добуток їх корисностей. Ця модель стала базою для аналізу переговорних процесів і лягла в основу багатьох досліджень.

Вплив роботи Неша

Роботи Неша 1950-х років зробили революцію теорії ігор. Після публікації його ключових статей увага дослідників спочатку зосередилася на розвитку теорій кооперативних ігор. Проте з 1970-х років почалося зрушення у бік некооперативних моделей, що було викликано програмою Неша. Ця програма передбачала аналіз кооперативних ігор через їх перетворення на некооперативні моделі.

Однією з головних ідей програми Неша стало створення моделей передігрових переговорів. Такі моделі описували поведінку гравців до початку гри як динамічний процес, що є частиною більшої некооперативної гри. Цей підхід дозволив краще зрозуміти природу кооперації та створити більш точні прогнози.

Подальші дослідження

Робота Неша також надихнула інших дослідників. Наприклад, Рейнхард Зельтен увів поняття «тремтячої руки»(trembling-hand) для уточнення рівноваг Неша, а Джон Харшаньї розробив моделі з неповною інформацією. Ці нововведення значно розширили застосування рівноваг Неша в реальних сценаріях.

Біологічні програми рівноваги Неша

Хоча теорія ігор спочатку розроблялася для економіки, концепції Неша виявилися напрочуд корисними в біології. У 1970-х роках Джон Мейнард Сміт та Джордж Прайс адаптували некооперативні ігри для аналізу еволюційних процесів, що призвело до створення концепції еволюційно стійкої стратегії (ESS).

ESS є стратегією, яка, будучи домінуючою у популяції, може бути витіснена мутантами, навіть якщо вони з'являються у малих кількостях. Це безпосередньо з рівновагою Неша: ESS можна як рівновагу, стійке до генетичних мутацій.

Ця ідея змінила підхід до розуміння поведінки тварин та рослин. Стратегії організмів, такі як розмноження, пошук їжі та захист території почали розглядатися як ігрові рішення, вироблені в процесі природного відбору. При цьому рівновага досягається, коли організми максимізують "фітнес" (еволюційну придатність).

Еволюційна стабільність та генетичні системи

Розвиток еволюційної теорії зіткнулося з кризою, коли з'ясувалося, що середній "фітнес" популяції може знижуватися через генетичну рекомбінацію, що розриває зв'язок між вигідними генами. Це спостереження поставило під сумнів ідею, що еволюція завжди призводить до максимізації адаптації.

Дослідники, такі як Ешель та Фельдман, показали, що ESS відіграє ключову роль у стабілізації популяції проти мутацій. Наприклад, якщо популяція досягає стану, близького до ESS, поява мутації, що порушує стабільність, може призвести до повернення системи до ESS, подібно до того, як поїзд на кінцевій зупинці стабілізується, незважаючи на вхід і вихід пасажирів.

Генетична інтерпретація ESS

Ця нова інтерпретація зміцнила зв'язок між теорією ігор та біологією. Вона показала, що рівновага Неша є центральним поняттям як для соціальних взаємодій, але й генетичної адаптації. Наприклад:

• Якщо населення досягає рівноваги, воно має бути рівновагою Неша.
• ESS особливо застосовна у випадках, де поведінка чи риси популяції одноманітні (мономорфізм).
• Однак, якщо спостерігається поліморфізм (різноманітність стратегій), то рівновага Неша залишається більшим і значущим інструментом.

Масова інтерпретація рівноваг Неша

Джон Неш у своїй докторській дисертації запропонував дві інтерпретації рівноваги: раціоналістичну і масову. Якщо перша передбачає, що гравці раціональні, знають структуру гри та можуть прораховувати стратегії, то масова інтерпретація виходить із іншої логіки.

Відповідно до масової інтерпретації:

• Гра повторюється багаторазово, і гравці повинні бути раціональними чи повністю обізнаними.
• Гравці накопичують емпіричні дані про результати використання різних стратегій, і їх поведінка поступово адаптується до переваг, що спостерігаються.
• Стабільний розподіл стратегій у популяції можна інтерпретувати як рівновагу Неша.

Неш використовує аналогію з великими популяціями, де кожен гравець вибирає стратегії випадково. Середня частота використання кожної стратегії стає аналогічною змішаної стратегії традиційної теорії ігор.

Значення масової інтерпретації

Масова інтерпретація виявилася тісно пов'язаною з ідеями еволюційної біології та призвела до створення нових моделей, що враховують адаптацію стратегій. Наприклад:

1. Реплікаторна динаміка.
   Ця модель визначає, як частка стратегії у популяції змінюється залежно від її "продуктивності" (фітнесу). Стратегії з більш високим фітнесом набувають більшої ваги.
2. Імітаційна поведінка.
   У цій моделі учасники копіюють успішні стратегії без їх аналізу. Це відповідає принципу, що гравці дотримуються "найкращого вибору".

Ці моделі посилюють взаємозв'язок між теорією ігор та динамічними процесами в біології, економіці та соціології.

Динамічна стабільність та рівновага Неша

Масова інтерпретація рівноваг дозволяє аналізувати стабільність систем. Наприклад:

• Якщо стратегія стає домінуючою у популяції, вона відповідає рівновазі Неша.
• Динамічно стійкі стани (тобто ті, що зберігаються при невеликих змінах) також відповідають рівновазі.

Ці принципи знаходять застосування у аналізі ринків, поведінки споживачів та міжкультурних взаємодій.

Раціоналістична інтерпретація рівноваг Неша

Раціоналістична інтерпретація, яку Неш також виклав у своїй дисертації, спирається на припущення про раціональність гравців. Ця інтерпретація застосовна до ігор, що граються одноразово, за наступних умов:

1. Гравці раціональні: вони прагнуть максимізувати свою вигоду
2. Повна інформація: у кожного гравця є знання про структуру гри та стратегії інших учасників.
3. Унікальність рішення: якщо рівновага не унікальна, виникає невизначеність, яка ускладнює передбачення поведінки.

Неш аргументує, що раціональне передбачення поведінки має відповідати рівновазі Неша, інакше прогноз буде самознищується (нестійким).

Усунення складності змішаних стратегій

Однією із критик раціоналістичного підходу було використання змішаних стратегій, які вважалися менш інтуїтивно зрозумілими. Джон Харшаньї запропонував альтернативу, інтерпретуючи змішані стратегії як вираз ймовірнісних припущень гравців щодо поведінки інших. Цей підхід сформував основу байєсівської інтерпретаціїде гравці будують свої дії на підставі суб'єктивних ймовірностей.

Проблема множинності рівноваг

Багато ігор мають кілька рівноваг, що створює невизначеність.Неш запропонував евристичний підхід для вибору "найкращої" рівноваги, ґрунтуючись на таких умовах, як:

• Зниження ризику: вибір рівноваги, що мінімізує ризики.
• Емпірична перевага: в експериментах учасники схильні вибирати певні рівноваги, що також може бути орієнтиром.

Прикладом є концепція домінантності ризику Харшаньї та Зельтена, яка формалізує вибір менш ризикованих рівноваг.

Вплив на економіку

Раціоналістична інтерпретація лягла в основу сучасної економічної теорії, включаючи:

• Аналіз олігополій: передбачення поведінки конкурентів над ринком.
• Аукціони: оптимізація ставок та передбачення результатів.
• Бізнес-стратегії: вибір відповідних стратегій взаємодії з конкурентами

Раціоналістичний підхід дозволяє формалізувати поведінку учасників в економічних системах, роблячи теорію ігор потужним інструментом економіки та політики.

Програма Неша: об'єднання кооперативних та некооперативних ігор

Джон Неш запропонував інноваційну програму для аналізу кооперативних ігор через перетворення їх на некооперативні. Це стало відомим як "програма Неша". Основна ідея полягає в тому, що:

1. Кооперативні ігри передбачають наявність надійних (обов'язкових) угод між гравцями.
2. Некооперативні ігри виключають таку можливість, і кожна сторона діє у своїх інтересах без можливості примусового виконання домовленостей.

Неш стверджував, що кооперативні ігри можна розглядати як окремий випадок некооперативних, моделюючи процес переговорів до початку гри. У такій моделі:

Переговори описуються як окрема некооперативна гра.

Рішення, досягнуті під час цієї гри, вважаються результатом кооперативної взаємодії.

Переваги програми Неша

1. Уніфікація теорії ігор.
   Програма Неша усуває розрив між двома підходами, поєднуючи їх під єдиною математичною основою.
2. Практична застосовність.
   Замість абстрактних аксіом програма дозволяє використовувати реальні сценарії переговорів для моделювання.
3. Аналіз стійкості.
   Рішення кооперативної гри стає обґрунтованішим, якщо воно випливає зі стабільного результату некооперативної моделі.

Проблеми програми Неша

Незважаючи на свою елегантність, програма стикається з деякими викликами:

1. Проблема вибору рівноваги: якщо в некооперативній моделі існує безліч рівноваг, складно визначити, яке з них є результатом кооперативної гри.
2. Математична складність: створення моделі переговорів, яка адекватно відображала б реальність, може бути скрутним.

Приклад застосування: теорія переговорів

Програма Неша особливо яскраво проявила себе у теорії переговорів. У рамках кооперативної гри сторони домовляються про поділ виграшу, ґрунтуючись на аксіомах. У некооперативній моделі Неш описав переговори як процес торгу, де сторони роблять ставки, відштовхуючись від своїх погроз (тобто альтернатив у разі відсутності угоди). Його підхід дозволяє визначити унікальний результат переговорів та враховувати динаміку загроз та поступок.

Вплив програми Неша

Робота Неша призвела до значних зрушень у теорії ігор та економіки:

• Вона заклала основу для аналізу корпоративних стратегій, міжнародних торгових переговорів та конфліктів.
• Моделі, натхненні програмою Неша, застосовуються в сучасних дослідженнях, включаючи аналіз поведінки на фінансових ринках та системах управління.

Теорія переговорів Неша

Джон Неш радикально змінив підхід до аналізу переговорів, запропонувавши сувору математичну модель, яка визначає унікальний результат, замість покладатися на суб'єктивні припущення про навички сторін. Його модель ґрунтується на наступних ключових принципах:

1. Симетричність.
   Якщо учасники перебувають у рівних умовах, їх виграші мають бути розподілені симетрично.
2. Ефективність.
   Досягнутий результат має бути Парето-оптимальним, тобто неможливо покращити становище одного учасника без погіршення становища іншого.
3. Незалежність від нерелевантних альтернатив.
   Додавання чи видалення опцій, які не вибираються, не повинно впливати на підсумкову угоду.
4. Інваріантність.
   Результат не повинен залежати від перетворення одиниць виміру корисності (наприклад, перерахунку доларів у євро).

На основі цих аксіом Неш вивів рішення, яке максимізує добуток корисностей сторін щодо їх мінімальних гарантій (рівнів, які можуть досягти без співробітництва).

Практичне значення рішення Неша

Модель Неша має широке застосування:

• Міжнародна торгівля: аналіз розподілу вигод між країнами
• Корпоративні переговори: оптимізація контрактів та угод між компаніями.
• Врегулювання конфліктів: визначення справедливого розподілу ресурсів між конфліктуючими сторонами

Наприклад, у переговорах про злиття компаній рішення Неша може визначити справедливий розподіл часток у новій структурі, враховуючи внесок кожної із сторін та її альтернативні опції.

Переговори зі змінними погрозами

Пізніше Неш розширив свою теорію, включивши до неї аналіз ігор зі змінними загрозами. У цій моделі гравці можуть змінювати свої стратегії загроз, щоб покращити свої позиції у переговорах.Це дозволяє враховувати динамічну природу реальних переговорних процесів.

Сучасні дослідження

Теорія переговорів Неша надихнула безліч наступних робіт. Наприклад:

• Розширення Шеплі: адаптація моделі Неша для ігор без трансферабельної корисності
• Моделі Харшаньї: аналіз загроз і стратегій для розрахованих на багато користувачів ігор
• Прогнозування ризиків: застосування моделі Неша для аналізу поведінки гравців за умов невизначеності.

Ці дослідження підтвердили універсальність підходу Неша та його застосовність до різних сценаріїв економіки та соціальних науках.

Еволюційна теорія ігор та її зв'язок із роботою Неша

Еволюційна теорія ігор виникла на стику біології та математики та стала потужним інструментом для аналізу стратегій, що формуються у процесі природного відбору. Ключові концепції цієї теорії, такі як еволюційно-стійка стратегія (ESS), базуються на рівновазі Неша.

Еволюційно стійка стратегія (ESS)

ESS була введена Джоном Мейнардом Смітом та Джорджем Прайсом. Вона описує стратегію, яка:

• Не може бути витіснена альтернативною стратегією (мутантом), якщо вона домінує у популяції.
• Стійка до невеликих змін у стратегії чи появі нової стратегії.

ESS є окремим випадком рівноваги Неша, але з додатковою вимогою стійкості до "мутацій". Наприклад, у моделі поведінки тварин ESS допомагає пояснити, чому у популяції зберігаються певні види агресії, альтруїзму чи співробітництва.

Динамічна стабільність

Одним із ключових питань еволюційної теорії ігор є стабільність досягнутої рівноваги.

Якщо рівновага стійка до невеликих змін у стратегії, вона відповідає ESS.

Однак у поліморфних популяціях (де представлені різні стратегії) часто застосовується загальніша модель рівноваги Неша, оскільки ESS може охоплювати все сценарії.

Застосування у біології

Рівновага Неша та ESS стали основою для моделювання взаємодій у природі, таких як:

1. Поведінка хижаків та жертв: оптимізація стратегій полювання та уникнення.
2. Суперництво за ресурси: еволюція стратегій домінування та поступок
3. Розмноження та вибір партнера: пояснення стратегій, спрямованих на максимізацію репродуктивного успіху

Ці підходи також допомагають зрозуміти, як природний відбір може призвести до складних моделей поведінки, які, здавалося б, здаються нерентабельними, наприклад, альтруїзм.

Генетична інтерпретація

Дослідники, такі як Ешель та Фельдман, розширили концепцію ESS, додавши до неї генетичні механізми. Вони показали, що процес природного відбору та мутації може привести популяцію до стану рівноваги Неша, якщо ця рівновага забезпечує максимізацію генетичної "придатності" (fitness).

Біологічні та соціальні паралелі

Еволюційна теорія ігор підтвердила, що моделі, засновані на рівновазі Неша, застосовні як до біологічним системам, до соціальним. Наприклад:

• В економіці реплікаторна динаміка використовується для аналізу змін у ринкових частках компаній.
• У соціології ці моделі застосовуються вивчення еволюції соціальних і правил.

Масова інтерпретація рівноваг Неша в економіці та суспільстві

Масова інтерпретація, запропонована Нешем, відкрила нові підходи до аналізу стратегій у великих популяціях. На відміну від раціоналістичної інтерпретації, що передбачає повне знання гравцями структури гри, масова інтерпретація допускає:

• Обмежену раціональність учасників.
• Поступову адаптацію стратегій через емпіричне навчання.
• Довгострокові процеси стабілізації через динамічну еволюцію.

Ця інтерпретація є особливо актуальною для економічних та соціальних систем, де взаємодії повторюються багаторазово, а учасники часто приймають рішення на основі обмеженої інформації.

Застосування в економічних моделях

1. Динаміка ринків.
   Масова інтерпретація дозволяє моделювати поведінку агентів на ринку, які обирають стратегії (наприклад, інвестиції чи ціни), ґрунтуючись на емпіричних даних. Моделі адаптації стратегій показують, як гравці «навчаються» оптимальним діям через серію спроб та помилок.
2. Реплікаторна динаміка
   Ця модель використовується для аналізу конкуренції між фірмами, де виживають компанії з найбільш ефективними стратегіями. Зростання ринкової частки фірми можна інтерпретувати як збільшення «частоти» її стратегії у загальній популяції.
3. Поведінка споживачів
   Споживачі адаптують свою поведінку на підставі доступної інформації, переваг та спостережень за вибором інших. Рівновага Неша допомагає передбачити стійкі моделі попиту та пропозиції.

Соціальні процеси

1. Еволюція соціальних норм
   Масова інтерпретація пояснює, як норми поведінки і цінності формуються і закріплюються в суспільстві через взаємодії, що повторюються. Стратегії, що відповідають суспільному схваленню, згодом стають домінуючими.
2. Політичні процеси
   У політичній науці моделі, засновані на масовій інтерпретації, використовуються для аналізу голосування, коаліцій та стратегій у міжнародних відносинах. Рівноваги Неша дозволяють передбачити стійкі угоди та альянси.
3. Мережеві взаємодії
   У соціальних мережах масова інтерпретація допомагає моделювати поширення інформації, поведінку користувачів та формування груп.

Динамічна адаптація

Масова інтерпретація також стимулювала розробку математичних моделей динамічної адаптації, таких як:

• Імітативна поведінка: учасники копіюють успішні стратегії, спостерігаючи за результатами інших
• Адаптація з пам'яттю: гравці враховують минулий досвід, щоб прогнозувати результати своїх дій

Ці моделі знайшли застосування в автоматизованих системах, таких як алгоритми машинного навчання, де агенти поступово оптимізують свою поведінку.

Сучасний розвиток ідей Джона Неша

Вплив роботи Неша виходить далеко за межі теорії ігор, охоплюючи економіку, біологію, політику та навіть технології. Його рівноваги та концепції продовжують надихати дослідників на розробку нових моделей та методів аналізу складних систем.

Узагальнення рівноваг Неша

Сучасні дослідження розширили та уточнили поняття рівноваги Неша, щоб врахувати:

1. Складні інформаційні структури
   В іграх з неповною інформацією розроблено моделі, такі як Байєсівські рівноваги, які враховують невизначеність гравців про стратегії та переваги інших. Ці підходи широко застосовуються в аналізі ринків, де інформація розподілена асиметрично (наприклад, між покупцями та продавцями).
2. Багатоагентні системи
   У великих системах із безліччю учасників використовуються моделі, що враховують взаємодію між групами агентів, а не лише між індивідуальними гравцями. Такі моделі знаходять застосування в аналізі мереж, міського планування та екосистем.
3. Еволюційна рівновага
   У біології та соціології розроблено теорії, які інтегрують ідеї Неша з еволюційними процесами, такими як природний відбір. Ці дослідження показують, як стратегії змінюються з часом, наближаючись до рівноваги.

Нові напрямки досліджень

1. рівновага в іграх з багаторазовим повторенням
   Моделі, що базуються на роботах Неша, аналізують поведінку гравців, які взаємодіють протягом тривалого часу. У цих іграх можлива поява кооперації навіть у некооперативних умовах.
2. Алгоритмічна теорія ігор
   Сучасні дослідження сфокусовані на обчислювальних аспектах рівноваг Неша, включаючи їх пошук та перевірку. Ці методи використовуються у розробці алгоритмів для автоматизованих торгових платформ, систем розподілених обчислень та штучного інтелекту.
3. Рівноваги у стохастичних іграх
   Ускладнені моделі включають елементи випадковості, що впливають вибір стратегій. Ці ігри знаходять застосування в таких галузях, як аналіз фінансових ринків та управління ризиками.

Практичні застосування

1. Економіка та бізнес Компанії використовують моделі Неша для оптимізації цін, аналізу конкуренції та вироблення стратегій на переговорах. На фінансових ринках рівноваги допомагають передбачати поведінку учасників та оцінювати наслідки змін у політиці.
2. Технології та ІІ У системах штучного інтелекту рівновагу Неша використовують для моделювання взаємодій між агентами. Наприклад, у розрахованих на багато користувачів онлайн-іграх алгоритми на основі теорії ігор допомагають збалансувати інтереси учасників.
3. Соціальні науки Аналіз рівноваг використовується вивчення формування соціальних норм, динаміки голосування і вирішення конфліктів.

Спадщина Джона Неша

Роботи Джона Неша залишаються фундаментом теорії ігор і її додатків.

• теорія ігор
• економіка
• нобелівка
• штучний інтелект
• математична статистика
• алгоритми
• рівновага
• еволюційна біологія
• історія
• огляд