Середня квадратична помилка

Оцінка точності результатів вимірів

Оцінити точність будь-яких вимірів – це означає визначити з урахуванням отриманих результатів порівнянні числові (кількісні) характеристики, які виражають якісну бік самих вимірів та умов їх проведення. Кількісні характеристики вимірювань чи критерії оцінки точності вимірювань встановлюються теорією ймовірності та теорією помилок (зокрема способом найменших квадратів). Згідно з цими теоріями оцінка точності результатів вимірювань проводиться тільки за випадковими помилками.

Показниками точності вимірювань можуть бути:

- Середня квадратична помилка вимірювань;

- Відносна помилка вимірювань;

- гранична помилка вимірів.

Поняття середньої квадратичної помилки введено Гаусом, і в даний час вона прийнята як основна характеристика точності вимірювань у геодезії.

Середньою квадратичною помилкою називається середнє квадратичне значення із суми квадратів помилок окремих вимірів. Для її обчислення використовують або дійсні помилки вимірів, або ухилення результатів вимірів від середнього арифметичного.

Позначимо справжнє значення вимірюваної величини через X результат вимірювання через l_i.

Справжніми помилками вимірів Δ _i називаються різниці результатів вимірів та істинних значень, тобто.

У цьому випадку середню квадратичну помилку m окремого результату обчислюють за такою формулою:

де n – кількість рівноточних вимірів.

Однак у більшості випадків практики, якщо не брати до уваги рідкісних випадків спеціальних досліджень, справжнє значення вимірюваної величини і, отже, справжні помилки залишаються невідомими.У цих випадках для знаходження остаточного значення вимірюваної величини та оцінки точності результатів вимірювань використовують принцип середнього арифметичного.

Нехай l₁, l₂. l_n результати n рівноточних вимірів однієї й тієї величини. Тоді приватне

називається середнім арифметичним із виміряних значень цієї величини.

Різниця кожного окремого результату вимірювання та середнього арифметичного значення називається ухиленням результатів вимірювань від середнього арифметичного та позначається буквою v:

приклад. Окремий кут виміряно чотирма прийомами, та отримано результати:

Тоді середнє арифметичне значення кута буде = 74° 17'44",5, а ухилення результатів вимірювань від середнього арифметичного відповідно будуть v₁ = - 2",5; v₂ = +1",5; v₃ = - 1",5 та v₄ = +2",5.

Ухилення результатів вимірювань від середнього арифметичного мають дві важливі властивості:

- для будь-якого ряду рівноточних вимірювань алгебраїчна сума ухилень дорівнює нулю v ] = 0;

- для будь-якого ряду рівноточних вимірів сума квадратів ухилень мінімальна, тобто менше суми квадратів ухилень окремих вимірів від будь-якого іншого значення, прийнятого замість середнього арифметичного значення [ v 2 ] = min.

Перша властивість ухилень служить надійним контролем обчислення середнього арифметичного значення результатів вимірювань. Другу властивість ухилень використовують для оцінки точності результатів вимірювань.

Якщо помилки окремих вимірів обчислюють щодо середнього арифметичного значення результатів вимірів, середню квадратичну помилку окремого результату обчислюють за формулою

приклад. Використовуючи дані попереднього прикладу, знайдемо середню квадратичну помилку виміру кута одним прийомом:

При визначенні середніх квадратичних помилок вимірювань необхідно керуватися такими правилами:

1) середня квадратична помилка суми чи різниці виміряних величин дорівнює кореню квадратному із суми квадратів середніх квадратичних помилок доданків, т.е. е. для вираження А = а + b - з +. + q середня квадратична помилка дорівнюватиме

при рівноточних вимірах, коли m_a = m_b = m_c =. = m_q:

2) середня квадратична помилка добутку виміряної величини на постійне число дорівнює добутку середньої квадратичної помилки цієї величини на те саме число, т.е. е. для вираження L = kl;

3) середня квадратична помилка результатів рівноточних вимірів прямо пропорційна середній квадратичній помилці одного виміру m і обернено пропорційна кореню квадратному з числа вимірів, тобто.

або з урахуванням формули (12):

Приклади: 1. Кут β отримано як різницю двох напрямків, визначених з помилками m₁ = ± 3" і m₂ = ± 4".

За першим правилом знаходимо.

2. Радіус кола виміряний із середньою квадратичною помилкою m_R = ±5 див.

За другим правилом знаходимо середню квадратичну помилку довжини кола

m₀ = 2πm_R = 2×3,14×5 = ±31 см.

3. Середня квадратична помилка виміру кута одним прийомом дорівнює m = ± 8". Яка точність виміру кута чотирма прийомами?

За третім правилом

4. Кут β виміряний п'ятьма прийомами. При цьому відхилення від середнього арифметичного склали: - 2", + 3", - 4", +4" та -1". Яка точність остаточного результату?

За третім правилом

Сподобалася стаття? Додай її в закладку (CTRL+D) і не забудь поділитися з друзями:

Середня квадратична, гранична та відносна помилки

Для судження про ступінь точності низки вимірів необхідно мати середнє помилки. Середнє арифметичне з вимірювань не можна брати, тому що через різні символи ряд з окремими великими помилками може виявитися точнішим за ряд з меншими помилками: Якщо взяти помилки по абсолютній величині, то два ряди вимірів з однаковими по абсолютній величині середніми помилками можуть бути помилково прийняті рівноточними і наявність великих помилок не буде відображено: Тому як критерій для оцінки точності ряду вимірювань використовують не залежить від знаків окремих помилок і рельєфно показує наявність великих помилок середню квадратичну помилку. Квадрат цієї помилки приймають рівним середньому арифметичному із квадратів окремих випадкових помилок, тобто:

₂ Д 2 1 + Д 2 2+. +Д 2 та [ДД] /ТДДТ .Г' А т -= -—-;т = _л-—-. - Формула Гауса, де Д - істинна п п V п помилка виміру. За теорією ймовірностей підраховано, що з великої кількості вимірів випадкова помилка одного виміру перевищує т. А> 1т - у 32 випадках із 100 вимірювань. Д>2т - у 5 випадках із 100 вимірювань. Д>3т - у 3 випадках із 1 000 вимірювань. Тому потрійну середню квадратичну помилку вважають граничної А_Ут=Зт. Часто точність проведених вимірів краще оцінюється відносною помилкоютобто відношенням абсолютної помилки до вимірюваної величини, що виражається правильним дробом з чисельником, рівним 1. Ця помилка характеризує в основному лінійні вимірювання та вимірювання площі ділянок. Наприклад, у замкненому полігоні теодолітного ходу лінійні виміри оцінюються відносною помилкою; де f_a6c = yjf 2 _x + f 2 _y - абсолютна помилка, Р - периметр полігону.

Середня квадратична помилка функції вимірюваних величин

а) Функція загального виду: Нехай аргументи виміряні помилками Ах, Ах2. ; Дуь ДУг. Л Awu AW2. Так як помилки Дх, Ду, Aw малі, то функцію можна розкласти в ряд Тейлора, обмежившись членами першого ступеня: Звідси складемо систему рівнянь випадкових помилок: Але Ах, Ау. мають нескінченну кількість вимірів кожна і характеризуються середніми квадратичними помилками. Тому можна скласти нескінченну кількість рівнянь, аналогічних вище наведеному: Аг =. 2 . >-Зведемо рівності квадрат, складемо і розділимо на п. Аz„ =. Звідси: Квадрат середньої квадратичної помилки функції загального виду дорівнює сумі квадратів творів приватних похідних за кожним аргументом на середні квадратичні помилки відповідних аргументів; б) Функція виду z=x+y (Суми), т_г=? Дано: jc-виміряно кілька разів з помилками Ах, Дх₂. Ах„ у - Виміряно кілька разів з помилками Ду_ь Ду₂. Ау„

Z - буде обчислено кілька разів з помилками Azi, Az₂,. • • Az„. Z + Az = (x + Ах₁)+(у + Ау,) = (^ + у)+(Ах₁ +Ду,); т 2 = т 2 +т 2 _у. Ця формула справедлива для функції виду z=x-y, оскільки після вище наведених міркувань перед останнім членом буде знак (-). Але він все одно прагне нуля. Тому можна дійти невтішного висновку, що квадрат середньої квадратичної помилки алгебраїчної суми двох аргументів дорівнює сумі квадратів середніх квадратичних помилок доданків. Якщо т_х=т_у=т, то m_z=±tmj2. Нехай z = x + у + S, перепишемо z = (х + у) + 2 _x+y) + m 2 _s, але т 2 _х+у) =m 2 +m 2 тому т 2 = m 2 _x+m 2 +m 2 _s +. Якщо т_х=т_у=. = т, то при доданках т. = ±т4п тобто квадрат середньої квадратичної помилки суми аргументів дорівнює сумі квадратів середніх квадратичних помилок доданків. Середня квадратична помилка алгебраїчної суми виміряних з однаковою точністю величин 4п разів більше середньої квадратичної помилки одного доданку. в) Функція виду z = k-x (Твори). до - постійне число безпомилкове, х - виміряно кілька разів з помилками Ахь Ах₂. Ах_п. z - буде обчислено кілька разів з помилками Azi, Az₂. Az„. z + Az, =k(x+Ax_l) = kx+kAx_i звідси = ** m * „чи m ~ = km ‘, тобто середня квадратична помилка добутку постійного числа на аргумент дорівнює добутку постійного числа на середню квадратичну помилку аргументу (вимірюваної величини).

Арифметична середина та її властивості

Нехай 1_Ъ ^₂» • • • 4 - ряд вимірів деякої величини X. За найкраще наближення до значення невідомої величини приймають арифметичну середину, тобто середнє арифметичне значення: Арифметична середина має ряд властивостей, з яких можна виділити наступні: 1-е властивість: при необмеженому збільшенні числа вимірювань п арифметична середина 4 прагне справжнього значення X, тобто є найімовірнішим значенням вимірюваної величини. А. = Л- * + А₂=?₂-Х підсумуємо рівняння та розділимо на п [а] ₌ М_^п | _0=i()__x п п п I 0 за якістю компенсації. Тому - = x,hm?₀ = X^ ^ _І

• 2-е властивість: сума відхилень S, виміряних значень від арифметичної середини 4 тотожно дорівнює нулю.
• *1=Л-*0
• 8=1 -а

+ 2 2 0 Це найімовірніші випадкові помилки.

3-е властивість: середня квадратична помилка М арифметичної середини в 4п разів менше середньої квадратичної помилки результату окремого виміру т.

Розглядаючи цю формулу як функцію загального вигляду, знайдемо:

Так як вимірювання рівноточні та

Оцінка точності низки вимірів з ймовірних помилок

Справжні випадкові помилки зазвичай залишаються невідомі. Тож оцінки точності використовують ймовірні помилки, тобто відхилення окремих результатів вимірів від арифметичної середини.

Складемо рівняння справжніх і найімовірніших випадкових помилок:

де ti - Виміряні значення; ? - дійсне значення виміряної величини; ?q - арифметична середина.

З першої системи віднімемо другу:

де М є випадковою помилкою арифметичної середини. Перепишемо рівності:

Зведемо рівності у квадрат і складемо їх;

[пекло] = пМ 2 + [SS] + 2 м[д]

Про другу властивість арифметичної середини. Розділивши на п отриману рівність, маємо:

Врахуємо, що М =. Тоді формула Бесселя:

І знову про похибки

Якщо, провівши один і той же вимір кілька разів, ви бачите, що результат залишається одним і тим самим, то випадкові похибки експерименту малі, їх не слід враховувати. Але якщо при повторенні вимірювання виходять різні значення, слід взяти середнє значення із серії вимірювань:

де n - Число вимірювань. Як дізнатися, якою є похибка результату? Логічно, і учні самі зазвичай пропонують це визначити середнє відхилення результату від середнього значення. Отримана величина зветься середньої арифметичної помилки: Вона показує, скільки в середньому кожне виміряне значення відхиляється від середнього значення. Але ця величина слабо залежить від кількості проведених вимірів. У чому тоді сенс багаторазових вимірів?

Для середньоквадратичної похибки, яка визначається трохи складніше:

є просте правило: середня квадратична похибка середнього арифметичного дорівнює середньої квадратичної похибки окремого результату, поділеної на корінь квадратний з числа вимірювань: З формули ясно, що зі збільшенням числа вимірів випадкова похибка середнього значення зменшується. Тому необхідно проводити стільки вимірювань, щоб випадкова похибка стала меншою за значення систематичної похибки даного вимірювання.

На жаль, у лабораторних роботах та за будь-яких інших експериментів у школі провести достатню кількість вимірювань неможливо через брак часу. Як чинити, може вирішити сам учитель. На мій погляд, для знаходження середньої арифметичної похибки середнього значення можна використовувати формулу, аналогічну формулі для середньої квадратичної помилки:

Хоча ця формула і невірна, вона допомагає зрозуміти зміст проведення великої кількості вимірів. Використовувати ж вона буде всього в кількох роботах, і, отже, немає потреби спеціально навчати знаходження похибки середнього значення. Зате, отримавши у цих роботах випадкову похибку менше похибки систематичної, учень запам'ятає, що кожен вимір слід проводити кілька разів за найменшої підозри, що у цьому експерименті є випадкова похибка. Зазвичай, вже за п'яти вимірах досягається необхідна трохи випадкової похибки проти систематичної.

5. Визначення похибки результату непрямих вимірів

До визначення похибки результату непрямих вимірів учні готові, як на мене, вже до 8-го класу. Залежно від рівня класу вперше метод кордонів [1, 12] можна застосувати або в роботі порівняно кількості теплоти при змішуванні води, або при знаходженні опору провідника. Поясню на прикладах.

• Допустимо, при нагріванні холодної води в процесі змішування ми маємо такі результати вимірювань:

– температура холодної води t₁ = (16,0±1,5) °С;

- Температура суміші t = (43,0±1,5) °С;

- Об'єм холодної води V₁ = (80 ± 2) мл = (80 ± 2) • 10 -6 м 3 .

Отримуємо кількість теплоти, одержану холодною водою:

Q = 4190 Дж/(кг • °С) • 1000 кг/м 3 • 80 • 10 –6 м 3 (43 – 16) °С = 9050,4 Дж. (1)

Виникає питання: а яка похибка набутого значення? Інакше кажучи, наскільки ми можемо помилитися, якщо точні значення не рівні виміряним, а лежать десь у інтервалі, що дається похибкою? Наприклад, початкова температура води може дорівнювати 16,5 °С, 17,0 °С і т.д. Тоді обчислена кількість теплоти буде меншою. Логічно подивитися, наскільки ми можемо помилитись по максимуму. Максимальна кількість теплоти вийде, якщо для всіх співмножників максимальні значення, тобто. верхні межі інтервалів значень з похибкою, для зменшуваного взяти верхню межу значення, а для віднімання – нижню:

Q_в = 4190 Дж/(кг • °С) • 1000 кг/м 3 • 82 • 10 -6 м 3 (44,5 - 14,5) ° С = 10 307,4 Дж.

Аналогічно обчислюємо нижню межу значення кількості теплоти:

Q_н = 4190 Дж/(кг • °С) • 1000 кг/м 3 • 78 • 10 -6 м 3 (41,5 - 17,5) ° С = 7843,68 Дж.

У межах і лежить шукане значення. Щоб порівнювати методом інтервалів це значення із кількістю теплоти, відданим гарячою водою, треба округлити значення верхньої та нижньої меж.Найкраще це зробити, оцінивши абсолютну похибку знайденого значення кількості теплоти.

З рис. 2 видно, що

Знайдене вище значення (1) близько (3), тому його не варто знаходити ще раз. А ось для похибки знайдемо за допомогою (2):

(Дві значущі цифри, тому що перша «1»). Тому кількість теплоти, одержану холодною водою, можна округлити: Q_получ = 9000 Дж ± 1200 Дж (тобто між 7800 Дж та 10 200 Дж). Якщо кількість теплоти, віддана гарячою водою, лежить між 8500 Дж і 11500 Дж (Q_{відданий} = 10 000 Дж ± 1500 Дж), можна бачити, що це кількості теплоти збігаються у межах похибки експерименту (рис. 3).

• Визначення опору резистора. Нехай виміряні значення напруги та сили струму такі:

– U = 2,60 ± 0,15 (інструментальна похибка 0,15 В; похибка відліку може бути взята рівною 0,05 В, тобто в 3 рази менше інструментальної, тому нею можна знехтувати);

– I = 1,2 А ± 0,1 А (інструментальна похибка 0,05 А, похибка відліку 0,05 А).

Тоді для опору отримуємо:

Але на самому резисторі написано: «2±0,1». Виходить, що ми неправильно визначили опір? Розрахуємо похибку нашого визначення значення опору:

Отримане експериментально значення опору R = (2,2 ± 0,3) Ом збігається у межах похибки зі значенням R = (2,0±0,1) Ом, вказаним на резисторі.

За допомогою методу кордонів можна вивести і формули для похибки під час узагальнення теми «Визначення похибки непрямих вимірів», але вже у 9-му класі.

Визначення похибки різниці. Нехай А = В - С. Розрахуємо похибку А у загальному вигляді:

Отримане дуже важливо: у деяких роботах у формулах для обчислення результату трапляється різниця двох близьких за значенням величин, що призводить до великої відносної похибки результату.

• У старій роботі «Визначення модуля Юнга гуми» [11] подовження гумового джгута знаходилося як різниця його результуючої та початкової довжин. Якщо умови досвіду такі, що ця різниця мала, наприклад, становить 1,5 див, то відносна похибка визначення різниці (похибка відліку взята набагато менше інструментальної похибки). Зрозуміло, що такий вимір використовувати для визначення модуля Юнга небажано, може вийти похибка більше 100%. Краще збільшити навантаження на джгут. Аналогічна проблема виникає у роботі «Вимір ЕРС і внутрішнього опору джерела» [2] (одне опір має бути у кілька разів більше іншого) та інших.

Визначення похибки частки двох величин. Нехай Розрахуємо похибку у загальному вигляді:

Таку формулу важко запам'ятовувати. Тому знайдемо відносну похибку величини А:

Отже, відносна похибка частки дорівнює сумі відносних похибок величин, що входять до нього. Така сама формула виходить і щодо похибки твори.

Важливим я вважаю не сам процес розрахунку похибки. Ці формули дають потужний інструмент оцінки обгрунтованості проведення експерименту. При їх використанні легко пояснити, при вимірі якої величини слід збільшити точність, щоб отримати кращий результат.

Розглянемо формулу для знаходження модуля Юнга: Якщо користуватися розрахунку похибки результату шляхом кордонів, то неясним залишиться, яка з величин у формулі вносить найбільшу похибку.

Для знаходження відносної похибки результату краще скористатися формулою:

При підстановці значень виявляється, що доданок дає максимальний внесок у суму, інші складові в кілька разів менше, отже ними можна знехтувати. Якщо l – l₀ буде невелика, то значення відносної похибки виявиться дуже великим, часом вищим за 100%. Який висновок зроблять у такому разі учні?

Така ситуація – приклад того, як застосування спрощеного способу обчислення похибок може спричинити великі помилки. Звичайно ж, цей експеримент цілком обґрунтований, за допомогою нього можна знайти модуль Юнг. Тільки слід вибрати ті виміри, де l – l₀ досить велике, і не забути знехтувати малими складниками при розрахунку похибки.

6. Визначення коефіцієнта прямої пропорційності

У лабораторних роботах нерідко зустрічається ситуація, коли необхідно за графіком визначити коефіцієнт пропорційності залежно від однієї величини від іншої. І тут у підручниках трапляються дві ситуації.

У роботі «Визначення модуля Юнга» [13] після знаходження модуля Юнга для вимірювань із трьома різними навантаженнями учням пропонується знайти середнє арифметичне трьох отриманих значень. Такий підхід є помилковим, т.к. кожне значення набуто з різними систематичними похибками, тобто. з різним ступенем точності. Не можна підсумовувати ці значення "з однаковою вагою". При таких обчисленнях у теорії помилок перебуває сума цих значень з різними коефіцієнтами.

Далі, у роботі «Вимірювання жорсткості пружини» [7] в аналогічній ситуації цілком справедливо зазначено, що, оскільки жорсткість пружини в кожному з дослідів отримана за різних умов, середнє арифметичне цих значень знаходити не можна.І пропонується знайти середнє значення коефіцієнта жорсткості за графіком як коефіцієнт пропорційності. Однак, оскільки учні не можуть знайти похибку знайденого таким чином коефіцієнта пропорційності, пропонується взяти як цю похибку похибка найгіршого результату. Я вважаю, що такий підхід не виправданий. Навіщо брати похибку найненадійнішого результату, якщо сам спосіб знаходження коефіцієнта жорсткості з графіка застосовується для того, щоб визначити цей коефіцієнт найточніше? Думаю, автори просто не хотіли звертати увагу на це питання.

На мій погляд, визначення коефіцієнта пропорційності за графіком можна запропонувати кілька варіантів.

Варіант 1. Найпростіший, тому придатний для молодших класів. Зазначаємо на графіку експериментальні значення із зазначенням похибки. Звертаємо увагу учнів те що, якби ми не завдали похибки на графіки, провести пряму було б важко. У 7-му класі досить просто відзначити той факт, що залежність між двома величинами прямо пропорційна. Але якщо все-таки необхідно знайти значення коефіцієнта пропорційності, можна обійтися без розрахунку похибки, зазначивши тільки, що цей спосіб (багаторазові вимірювання за різних умов та побудова графіка) використовується саме для того, щоб зменшити похибку результату.

Варіант 2 Чортимо пряму, знаходимо експериментальну точку, яка лежить найближче до прямої, і саме цю точку і вважаємо найточнішою. Залишається обчислити результат для неї за звичайними формулами, розрахувавши також похибку.

Варіант 3. Найлогічніший. Пробуємо провести через крапки разом із їхніми похибками дві прямі: з найбільшим та з найменшим нахилом.Значення коефіцієнтів їм і будуть верхньої і нижньої межами для результату. Знаючи межі, розраховуємо середнє значення коефіцієнта та похибка. Ця похибка неявно міститиме як систематичну похибку експериментально виміряних величин, і випадкову похибку визначення середнього, але з урахуванням точності кожного результату. Цей варіант годиться для використання в експериментах, коли коефіцієнт має бути оцінений досить точно. Але він досить складний, тому не варто використовувати його у всіх випадках.

Варіант 4. Використання вбудованих програм у калькуляторах або готових комп'ютерних програм для обчислення коефіцієнтів методом найменших квадратів. Цей спосіб придатний для практикуму у старших класах та/або у класах фізматпрофілю. На жаль, у такі програми, як правило, вбудований метод найменших квадратів, що не враховує похибок експериментальних точок. Застосування має сенс у випадках, коли похибки всіх точок практично однакові, або коли домінуючою є випадкова похибка. Вона і буде врахована.

Який із цих варіантів вибрати, може вирішувати сам учитель. На щастя таких робіт досить мало. Продемонструємо всі ці варіанти з прикладу.

• Візьмемо дані експерименту залежно від часу рівномірного руху (машинка з конструктора з електричним приводом):

Діючи так, як описано у варіанті 1, будуємо графік (рис. 4).

Так як точок на графіку багато, можна з упевненістю стверджувати, що 8-а та 10-та точки є «викидами», тобто. виміряні недбало. З огляду на похибку експерименту можна провести пряму практично єдиним способом: відповідна швидкість 0,16 м/с.Якщо скористатися методом найменших квадратів (наприклад, вбудованою функцією ЛІНІЙН у програмі MicrosoftExcel), то коефіцієнта ми отримаємо значення 0,158 ± 0,002 м/с (варіант 4).

Для варіанта 2 підходить 3 точка. Швидкість, обчислена за даними цієї точки, 0,158 м/с. Розрахуємо похибку: Оскільки відносна похибка шляху мала порівняно з відносною похибкою часу, нехтуємо нею. Абсолютна похибка результату: 0,063 0,158 = 0,010 м/с. Тобто швидкість, обчислена у варіанті 2: (0158 ± 0010) м/с.

З наведеного прикладу видно, що значення коефіцієнта пропорційності виходять дуже близькими. У цьому прикладі похибки окремих вимірів були досить малі, а точок, навпаки, було багато. Розглянемо приклад, коли похибки, навпаки, великі, а кількість дослідів з об'єктивних причин мало.

У разі варіанта 1 пряму проводимо так, щоб кількість точок над і під прямою була однакова (рис. 5), тобто. у цьому випадку – одна зверху, одна знизу (пряма 1). Щільність у разі дорівнює 1,23 г/см 3 .

У разі варіанта 2 придатна 2-а точка. Для неї значення густини (1,2 ± 0,2) г/см 3 .

Варіант 3: проведемо прямі 2 і 3. Для прямої 2 коефіцієнт пропорційності 1,09 г/см 3 є нижньою межею шуканого значення густини, а для прямої 3 (1,27 г/см 3 ) – верхній. Напівсума цих значень є значення густини (1,18 г/см 3 ), а напіврізниця – значення похибки (0,09 г/см 3 ).

Варіант 4 у разі менш придатний, т.к. не враховує великих значень похибок при вимірюванні об'єму за допомогою мірного циліндра, але і в цьому варіанті густина (1,18 ± 0,05) г/см 3 .

Слід зазначити, що у двох останніх прикладах на графіках було позначено лише похибки вздовж горизонтальної осі, т.к. похибки значень другої змінної були дуже малі.

Післямова

Навчитися обробляти результати експериментів учні можуть лише обробляючи результати експериментів. Це означає, що, крім стандартного набору лабораторних робіт, необхідно проводити багато фронтальних та демонстраційних експериментів з обробкою результатів. Це велика робота, і я хочу побажати успіхів усім вчителям, хто вступить на цей шлях або вже стоїть на ньому.

1. Анофрикова С.В., Стефанова Г.П. Практична методика викладання фізики. Частина перша. - Астрахань: Видавництво Астраханського ДПІ, 1995.

2. Фізика: За ред. А.А.Пінського: Підручник для 10 кл. шкіл та класів з кут. вивченням фізики. - М.: Просвітництво, 2002.

3. Попова О.М. Навчання учнів виявленню стійких зв'язків та відносин між фізичними величинами: Методичний посібник для вчителів фізики. - Еліста: Елістинський ліцей, 1998.

4. Анофрикова С.В. Абетка вчительської діяльності, ілюстрована прикладами діяльності вчителя фізики. Ч. 1. Розробка уроків. - М.: МПГУ, 2001.

5. Перишкін А.В. Фізика-8. - М.: Дрофа, 2004.

6. Громов С.В., Батьківщина Н.А. Фізика-8. - М.: Просвітництво, 2000.

7. Кікоїн І.К., Кікоїн А.К. Фізика-10 Механіка. - М.: Просвітництво, 2001.

8. Фронтальні лабораторні заняття з фізики у 7–11 класах загальноосвітніх закладів. Книга для вчителя: За ред. В.А.Бурова, Г.Г.Нікіфорова. - М.: Просвітництво, Навчальна література, 1996.

9. Зайдель О.М. Елементарні оцінки помилок вимірів. - Л.: Наука, 1967.

10. Хороз С.А. Робота над помилками: У кн. "Енциклопедія для дітей", т. 16 "Фізика", ч. 1 "Біографія фізики. Подорож у глиб матерії.Механістична картина світу». - М.: Аванта +, 2000.

11. Мякішев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотський Н.М. Фізика-10 - М.: Просвітництво, 2004.

12. Кирик Л.А. Фізика-9: Методичні матеріали. - М.: Ілекса, 2003.

13. Шахмаєв Н.М., Шахмаєв С.М., Шодієв Д.Ш. Фізика-10 - М.: Просвітництво, 1994.