Таблиця коріння. Що таке корінь числа та як його визначити?

Корінь це таке число, яке при зведенні в певний ступінь дає вихідне число. Найбільш поширеним типом кореня є квадратний корінь. Наприклад, квадратний корінь числа 16 дорівнює 4, оскільки 4×4 = 16.

У цій статті освітня платформа Mathema зібрала всю інформацію, яка допоможе дітям та батькам розібратися у темі «Корінь числа» та «Квадратний корінь». У статті є таблиця коренів та пояснення, як визначити квадратний корінь.

Таблиця коренів

Ця таблиця показує значення квадратного коріння для деяких чисел. Кожен елемент таблиці представлений у вигляді рівності, де ліворуч вказано число під знаком кореня, а праворуч - його квадратний корінь. Таблиця організована п'ять колонок і п'ять рядків, що дозволяє легко знайти квадратний корінь для будь-якого з наведених чисел.

Ось ще одна таблиця квадратного коріння, яка може стати в нагоді. Вона зображує квадратне коріння натуральних чисел від 1 до 100.

Як знайти квадратний корінь?

Знаходження квадратного кореня - це важлива навичка в математиці, яка використовується в багатьох галузях науки та техніки. Ось кілька методів, які допоможуть вам знайти квадратний корінь:

1. З використанням калькулятора: Найпростіший спосіб знайти квадратний корінь - скористатися калькулятором Більшість сучасних калькуляторів мають спеціальну кнопку для обчислення квадратного кореня, що зазвичай позначена символом √. Просто введіть число та натисніть цю кнопку, щоб отримати результат.



2. Вручну (метод послідовних наближень): Цей метод включає використання здогадів і уточнень. Наприклад, щоб знайти квадратний корінь з 50, можна почати з припущення 7 (бо 7×7=49), а потім спробувати більш точні значення, такі як 7,1 або 7,05, щоб наблизитися до точного результату.



3. З використанням таблиць квадратного коріння: Таблиці квадратних коренів, як представлена ​​вище, можуть допомогти швидко знайти значення кореня для популярних чисел. Такі таблиці особливо корисні для навчання та підготовки до іспитів, оскільки дозволяють легко запам'ятати значення коренів для чисел, що часто використовуються.

Корінь (математика)

Корінь n-го ступеня з числа a визначається [1] як таке число b, що bn = a. =a.> Тут n - натуральне число, зване показником кореня (або ступенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок n = 1 не становить інтересу.

Позначення: b = a n , ]>,> символ (знак кореня) у правій частині називається радикалом. Число a (підкорене вираз) найчастіше речове або комплексне, але існують і узагальнення для інших математичних об'єктів, наприклад, відрахувань, матриць та операторів, див. нижче #Варіації та узагальнення.

Приклади для дійсних чисел:

Як видно з першого прикладу, у речовинного кореня парного ступеня можуть бути два значення (позитивне та негативне), і це ускладнює роботу з таким корінням, не дозволяючи використовувати їх в арифметичних обчисленнях. Щоб забезпечити однозначність, запроваджується поняття арифметичного кореня ➤ (З невід'ємного речового числа), значення якого завжди невід'ємне, у першому прикладі це число 3.Крім того, прийнято угоду, за якою знак кореня парного ступеня з речового числа завжди позначає арифметичний корінь [2] [3]: 9 2 = 3. ]>=3.> Якщо потрібно врахувати двозначність кореня, перед радикалом ставиться знак плюс-мінус [2]; наприклад, так робиться у формулі розв'язання квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 +bx+c=0> :

Речові коріння парного ступеня з негативних чисел немає. З комплексного числа завжди можна отримати корінь будь-якого ступеня, але результат визначений неоднозначно - комплексний корінь n-го ступеня з ненульового числа має n різних значень (див. #Корні з комплексних чисел).

Операція вилучення кореня та алгоритми її реалізації з'явилися в давнину у зв'язку з практичними потребами геометрії та астрономії, див. #Історія.

• 1 Визначення та пов'язані поняття



• 2 Коріння з дійсних чисел
  
  
  
  • 2.1 Загальні характеристики
  
  
  
  • 2.2 Застереження
  
  
  
  • 2.3 Арифметичний корінь
  
  
  
  • 2.4 Алгебраїчні властивості
  
  
  
  • 2.5 Вилучення кореня та зведення в дробовий ступінь
  
  
  
  • 2.6 Функція кореня
  
  
  
  • 2.7 Граничні співвідношення
  
  
  
  • 2.8 Практичне обчислення коренів
  
  
  
  
  
  
  • 3.1 Способи знаходження
  
  
  
  • 3.2 Приклади
  
  
  
  • 3.3 Комплексна функція кореня та риманова поверхня
  
  
  
  
  
  
  • 5.1 Розвиток поняття
  
  
  
  • 5.2 Етимологія терміна та походження символіки
  
  
  
  
  
  

  Визначення та пов'язані поняття

  
  
  

  Крім наведеного вище, можна дати два рівносильних визначення кореня [4]:

  
  
  
  
  
  
  • Корінь n-го ступеня у складі a є розв'язання x рівняння x n = a =a> (зазначимо, що рішень може бути кілька або жодного).
  
  
  
  • Корінь n-го ступеня у складі a є корінь многочлена x n − a , -a,> тобто значення x , у якому зазначений многочлен дорівнює нулю.
  
  
  
  
  
  

  Операція обчислення a n ]>> називається «вилученням кореня n-го ступеня» з числа a. Це одна з двох операцій, зворотних по відношенню до зведення в ступінь [5], а саме - знаходження основи ступеня b за відомим показником n і результатом зведення в ступінь a = b n >. Друга зворотна операція, логарифмування, знаходить показник ступеня за відомою основою та результатом.

  
  
  

  Коріння другого і третього ступеня вживаються особливо часто і тому мають спеціальні назви [5].

  
  
  

  Коріння з дійсних чисел

  
  
  

  У цьому розділі всюди n — натуральне число, a, b — речові числа. Корінь n-го ступеня з речовинного числа a залежно від парності n і знака a може мати від 0 до 2 речових значень.

  
  
  

  Загальні властивості

  
  
  
  
  
  
  • Корінь непарний ступеня з позитивного числа - позитивне число однозначно визначене.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Корінь непарний ступеня з негативного числа - негативне число однозначно визначене.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Корінь парної ступеня з позитивного числа має два значення із протилежними знаками, але рівними за модулем.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Корінь парної ступеня з негативного числа не існує в галузі дійсних чисел, Оскільки при зведенні будь-якого речового числа в ступінь з парним показником результатом буде негативне число. Нижче буде показано, як видобувати таке коріння у ширшій системі — безлічі комплексних чисел (тоді значеннями кореня будуть n комплексних чисел).
  
  
  
  
  
  

  Застереження

  
  
  

  Як сказано вище: «Корінь парної ступеня з негативного числа не існує в галузі дійсних чисел». При цьому в області комплексних чисел такий корінь існує.Тому слід завжди враховувати, в якій числовій системі (речових чи комплексних чисел) ми витягуємо корінь.

  
  
  
  
  
  
  1. приклад. В області дійсних чисел квадратний корінь з − 9 не існує.
  
  
  
  2. приклад. В області комплексних чисел квадратний корінь з − 9 дорівнює ± 3 i .
  
  
  
  
  
  

  Арифметичний корінь

  
  
  

  Вище говорилося, що коріння парної міри визначено, взагалі кажучи, неоднозначно, і це створює незручності за її використанні. Тому було запроваджено практично важливе обмеження цього поняття [6].

  
  
  

  Арифметичний корінь n-го ступеня з невід'ємного речового числа a — це невід'ємне число b для якого b n = a . =a.> Позначається арифметичний корінь знаком радикала.

  
  
  

  Отже, арифметичний корінь, на відміну кореня загального виду (алгебраїчного), Визначається тільки для неотрицательных речових чисел, яке значення завжди існує, однозначно [ 7 ] і неотрицательно. Наприклад, квадратний корінь у складі 4 має два значення: 2 і − 2 , їх арифметичним є перше.

  
  
  

  Алгебраїчні властивості

  
  
  

  Наведені нижче формули вірні насамперед для арифметичних коренів будь-якого ступеня (крім особливо обумовлених випадків). Вони справедливі також для коріння непарного ступеня, у яких допускаються і негативні підкорені вирази [8].

  
  
  

  Корінь із твору дорівнює добутку коренів із співмножників:

  
  
  

  Наступна рівність є визначення зведення в дробовий ступінь [10]:

  
  
  

  Величина кореня не зміниться, якщо його показник і ступінь підкореного виразу розділити на те саме число (множник показника ступеня і показник ступеня підкореного виразу):

  
  
  

  Для коріння непарного ступеня вкажемо додаткову властивість:

  
  
  

  Вилучення кореня та зведення в дробовий ступінь

  
  
  

  Операція зведення в ступінь спочатку була введена як скорочений запис операції множення натуральних чисел: m n = m ⋅ m ⋅ ⋅ m ⏟ n = \underbrace m\cdot m\cdot \dots \cdot m> _n>> Наступним кроком було визначення зведення довільну цілу, у тому числі негативну, ступінь: m − n = 1 m n . =>>.>

  
  
  

  Операція вилучення арифметичного кореня дозволяє визначити зведення позитивного числа в будь-який раціональний (дрібний) ступінь [10]:

  
  
  

  При цьому чисельник дробу m n >> може мати знак. Властивості розширеної операції в основному аналогічні до зведення в цілий ступінь.

  
  
  

  Це визначення означає, що вилучення кореня і протилежне щодо нього зведення в ступінь фактично об'єднуються в одну операцію алгебри. Зокрема:

  
  
  

  Спроби зведення в раціональний ступінь негативних чисел можуть призвести до помилок, оскільки значення кореня алгебри неоднозначно, а область значень арифметичного кореня обмежена невід'ємними числами. Приклад можливої ​​помилки:

  
  
  

  Функція кореня

  
  
  

  Якщо розглядати підкорене вираз як змінну, ми отримаємо функцію кореня n-го ступеня: y = x n]>>. Функція кореня відноситься до категорії функцій алгебри. Графік будь-якої функції кореня проходить через початок координат і точку (1; 1).

  
  
  

  Як сказано вище, для кореня парного ступеня, щоб забезпечити однозначність функції, корінь має бути арифметичним, тому аргумент x невід'ємний. Функція кореня непарної міри однозначна і існує для будь-якого речового значення аргументу.

  
  
  

  Тип функції кореня	Область визначення	Область значень	Інші властивості
  Парного ступеня	[ 0 ; + ∞ )	[ 0 ; + ∞ )	Функція опукла вгору по всій області визначення
  Непарного ступеня	( − ∞ ; + ∞ )	( − ∞ ; + ∞ )	Функція непарна

  
  
  

  Для будь-якого ступеня функція кореня строго зростає, безперервна всюди всередині своєї області визначення. Необмежено диференційована всюди, крім початку координат, де похідна звертається в нескінченність [11] [12]. Похідна визначається за формулою [13]:

  
  
  

  Функція необмежено інтегрована у всій галузі визначення. Невизначений інтеграл шукається за такою формулою:

  
  
  

  ∫ ⋯ ∫ ⏟ k x n d x ⋯ d x ⏟ k = n k x k n + 1 n ∏ m = 1 k ( 1 + m n ) + C _<\sqrt[]>\ \underbrace _=<\frac <<\sqrt[]>>><\prod _^(1+mn)>>+C>

  де k , n ∈ N , C = c o n s t \ C = const>

  
  
  

  Праві частини формул є виразами алгебри, які існують завжди, при натуральному k . Отже, і ліві теж.

  
  
  

  Граничні співвідношення

  
  
  

  Наведемо кілька корисних меж, що містять коріння [16].

  
  
  

  Практичне обчислення коренів

  
  
  

  Функція обчислення квадратних та кубічних коренів передбачена у багатьох калькуляторах; наприклад, калькулятор Windows показує відповідні кнопки у режимі «Інженерний» (Науковий). Якщо на електронному калькуляторі є клавіша зведення в ступінь: y x ​​, ,> для вилучення кореня з поточного числа треба натиснути такі клавіші [ 17 ] .

  
  
  

  y x > Набрати показник кореня Натиснути клавішу 1 / x Натиснути клавішу =

  
  
  

  Для розрахунку вручну можна використовувати метод, що швидко сходиться, викладений у статті «Алгоритм знаходження кореня n-ного ступеня». Для ступенів вище третього можна використовувати логарифмічну тотожність:

  
  
  

  Для отримання кореня треба знайти логарифм підкореного виразу, розділити на ступінь кореня і знайти антилогарифм результату.

  
  
  

  Коріння із комплексних чисел

  
  
  

  Зародження поняття комплексного числа історично було з бажанням «легалізувати» квадратне коріння з негативних чисел.Як поступово з'ясувалося, комплексні числа мають багаті алгебраїчні та аналітичні властивості; зокрема, вилучення коренів із них завжди можливе, хоча й неоднозначно. Для коренів у комплексній області знак радикала зазвичай або використовується, або позначає не функцію кореня, а безліч всіх коренів; в останньому випадку, щоб уникнути помилок, знак радикала не повинен використовуватись в арифметичних операціях. Приклад можливої ​​помилки:

  
  
  

  Помилка виникла через те, що неарифметичний квадратний корінь є багатозначною функцією і його не можна використовувати в арифметичних діях.

  
  
  

  Способи знаходження

  
  
  

  Тоді коріння n-го ступеня з z визначається формулою Муавра (тригонометрична форма) [18]:

  
  
  

  Корінь ступеня n з ненульового комплексного числа має n значень (це наслідок основної алгебри теореми), і всі вони різні. Значення кореня, що отримується при k = 0 часто називається головним. Оскільки для всіх значень кореня величина модуля однакова (він визначається як арифметичний корінь із модуля початкового комплексного числа), а змінюється лише його аргумент, всі n значень кореня розташовуються на комплексній площині на колі радіуса r n <\sqrt[n>]>>>> c центром на початку координат. Коріння ділять це коло на n рівних частин.

  
  
  

  Приклади

  
  
  

  Знайдемо − 4 >> . Оскільки − 4 = 4 ( cos ⁡ π + i sin ⁡ π ) , +i\sin <\pi >),> за формулою отримуємо: − 4 = 2 ( cos ⁡ π + 2 π k 2 + i sin ⁡ π + 2 π k 2 ) , k = 0 , 1 >=2\left(\cos >+i\sin >\right),\;k=0,1> При k = 0 отримаємо перший корінь 2 i , при k = 1 отримаємо другий корінь ( − 2 i ) Інший приклад: знайдемо − 16 4 ]> > . Представимо підкорене вираз у тригонометричній формі: − 16 = 16 ( cos ⁡ ( π + 2 k π ) + i sin ⁡ ( π + 2 k π ) ) За формулою Муавра отримуємо: z k = − 16 4 = 16 4 ( cos ⁡ π + 2 k π 4 + i sin ⁡ π + 2 k π 4 ) =<\sqrt[ ]>=<\sqrt[]>\left(\cos >+i\sin >\right)> У результаті маємо чотири значення кореня [ 19 ] : z 0 = 2 (cos ⁡ π 4 + i sin ⁡ π 4 ) = 2 ( 1 + i ) =2 sqrt >\(1+i)> z 1 = 2 (cos ⁡ 3 π 4 + i sin ⁡ 3 π 4 ) = 2 ( − 1 + i ) =2\left(\cos >+i\sin >\right)=<sqrt >\ (-1+i)> z 2 = 2 ( cos ⁡ 5 π 4 + i sin ⁡ 5 π 4 ) = − 2 ( 1 + i ) <\displaystyle z_=2\left(\cos >+i\sin >\right)=-<\sqrt >\ (1+i)> z 3 = 2 ( cos ⁡ 7 π 4 + i sin ⁡ 7 π 4 ) = 2 ( 1 − i ) =2\left(\cos > +i\sin >\right)=<\sqrt >\ (1-i)> Можна записати зведену відповідь у вигляді: − 16 4 = 2 ( ± 1 ± i ]]>=<\sqrt >\ (\pm 1\pm i)>

  
  
  

  Комплексна функція кореня та риманова поверхня

  
  
  

  Для комплексної функції кореня n-го ступеня її риманова поверхня (див. малюнки) складається з n гілок (листів), Пов'язаних гвинтоподібно, причому останній лист пов'язаний з першим. Ця поверхня безперервна і однозв'язкова.

  
  
  

  Опишемо для простоти комплексну функцію квадратного кореня. Її риманова поверхня складається з двох листів.Значення функції кореня w цьому листі мають удвічі менший аргумент, ніж z , і тому заповнюють верхню частину комплексної площини значень. На розрізі перший лист склеєний з другим, і функція безперервно триває через розріз другого лист, де її значення заповнюють нижню частину комплексної площини значень. Ті, що залишилися вільними, початок першого листа і кінець другого теж склеїмо, після чого отримана функція на риманової поверхні стає однозначною і всюди безперервною [20].

  
  
  

  Єдиний нуль функції (першого порядку) виходить при z = 0 . Особливі точки: z = 0 і z = ∞ (точки розгалуження нескінченного порядку) [20]. Поняття точки розгалуження означає, що замкнутий контур на околиці нуля неминуче містить перехід із листа на лист.

  
  
  

  З огляду на однозв'язність риманова поверхня кореня є універсальної накриває [ 21 ] для комплексної площині без точки 0 .

  
  
  

  Варіації та узагальнення

  
  
  

  Корінь n -й ступеня a є рішення рівняння x n = a = a> , і його в принципі можна визначити всюди, де таке рівняння має сенс. Найчастіше розглядають такі узагальнення в кільцях алгебри. Найкраще досліджено узагальнене квадратне коріння.

  
  
  

  Якщо кільце є область цілісності, то квадратного коріння з ненульового елемента може бути або два, або жодного. Справді, якщо є два корені a , b , то a 2 = b 2 , =b^,> звідки: ( a − b ) ( a + b ) = 0 , тобто через відсутність дільників нуля, a = ± b. У загальному випадку, як у кільці є дільники нуля чи його некоммутативно, число коренів може бути будь-яким.

  
  
  

  Теоретично чисел розглядається кінцеве кільце відрахувань по модулю m : якщо порівняння x n ≡ a ( mod m ) \equiv a<\pmod >> має рішення, то ціле число a називається відрахуванням ступеня n (інакше - невирахуванням ступеня n). Рішення x , якщо воно існує, є повним аналогом кореня n-й ступеня з цілого числа a. Найчастіше використовуються випадки [22]:

  
  
  

  Коріння для кватерніонів має багато спільного з комплексними, але є й суттєві особливості. Квадратний кватерніонний корінь зазвичай має 2 значення, але якщо підкорене вираз - негативне речове число, то значень нескінченно багато. Наприклад, квадратне коріння з − 1 утворює тривимірну сферу, що визначається формулою [ 23 ] :

  
  
  

  Для кільця квадратних матриць доведено, що якщо матриця позитивно визначена, то позитивно визначений квадратний корінь із матриці існує і єдний [24]. Для матриць інших типів коренів може бути скільки завгодно (зокрема жодного).

  
  
  

  Квадратне коріння вводиться також для функцій [25], операторів [26] та інших математичних об'єктів.

  
  
  

  Історія

  
  
  

  Розвиток поняття

  
  
  

  Вавилонська табличка (близько 1800—1600 р. до н. е.) з обчисленням 2 ≈ 1 + 24 / 60 + 51 / 60 2 + 10 / 60 3 >\approx 1+24/60+51/60^+10/ 60^>
  = 1,414 21296 … 41421296 \ dots >

  
  
  

  Перші завдання, пов'язані з вилученням квадратного кореня, виявлено у працях вавилонських математиків (про досягнення стародавнього Єгипту щодо цього нічого не відомо). Серед таких завдань [27]:

  
  
  
  
  
  
  • Застосування теореми Піфагора знаходження сторони прямокутного трикутника по відомим двом іншим сторонам.
  
  
  
  • Знаходження сторони квадрата, площа якого задана.
  
  
  
  • Розв'язання квадратних рівнянь.
  
  
  
  
  
  

  Ітерації у цьому методі дуже швидко сходяться. Для 5 >>, наприклад, a = 5; n = 2; r = 1; x 0 = 9 4 = 2 , 25 , =>=225,> і ми отримуємо послідовність наближень:

  
  
  

  x 1 = 161 72 = 2,236 11; x 2 = 51841 23184 = 2,236 0679779 =>=223611;\;x_=>=22360679779>

  
  
  

  У заключному значенні вірні всі цифри, крім останньої.

  
  
  

  Аналогічні завдання та методи зустрічаються в давньокитайськійМатематиці у дев'яти книгах»[29]. Стародавні греки зробили важливе відкриття: 2 >> - ірраціональне число. Детальне дослідження, виконане Теететом Афінським (IV століття е.), показало, що й корінь з натурального числа не витягується націло, його значення ірраціонально [ 30 ] .

  
  
  

  Греки сформулювали проблему подвоєння куба, яка зводилася до побудови кубічного кореня за допомогою циркуля та лінійки. Проблема виявилася нерозв'язною. Численні алгоритми отримання кубічного кореня опублікували Герон (в трактаті «Метрика», I століття н. е.) та індійський математик Аріабхата I (V століття) [31].

  
  
  

  Алгоритми отримання коренів будь-якого ступеня з цілого числа, розроблені індійськими і ісламськими математиками, були вдосконалені в середньовічній Європі. Микола Орем (XIV століття) вперше тлумачив [32] корінь n-го ступеня як зведення у ступінь 1 n >>.

  
  
  

  Після появи формули Кардано (XVI століття) почалося застосування в математиці уявних чисел, які розуміються як квадратне коріння з негативних чисел [33]. Основи техніки роботи з комплексними числами розробив у XVI столітті Рафаель Бомбеллі, який запропонував також оригінальний метод обчислення коренів (за допомогою ланцюгових дробів). Відкриття формули Муавра (1707) показало, що вилучення кореня будь-якого ступеня з комплексного числа завжди можливе і не призводить до нового типу чисел [34].

  
  
  

  Комплексне коріння довільного ступеня на початку XIX століття глибоко досліджував Гаусс, хоча перші результати належать Ейлеру [35]. Надзвичайно важливим відкриттям (Галуа) став доказ того факту, що не всі числа алгебри (корені багаточленів) можуть бути отримані з натуральних за допомогою чотирьох дій арифметики і вилучення кореня [36].

  
  
  

  Етимологія терміна та походження символіки

  
  
  

  Термін корінь має довгу та складну історію. Вилучення квадратного кореня стародавні греки розуміли строго геометрично: як знаходження сторони квадрата за відомою його площею. Після переведення на санскрит грецьке слово «сторона» перетворилася на «мула»(підстава). Слово «мула» мало також значення «корінь», тому при перекладі індійських сиддхант арабською використовувався термін «джизр(корінь рослини). Згодом аналогічне за змістом слово «radix» закріпилося в латинських перекладах з арабської, а через них і в російській математичній термінології («корінь», «радикал») [37].

  
  
  

  Середньовічні математики (наприклад, Кардано) позначали квадратний корінь [38] символом R_xскорочення від слова "radix". Сучасне позначення вперше вжив німецький математик Крістоф Рудольф, зі школи коссистів (тобто алгебраїстів), в 1525 [39] . Походить цей символ від стилізованої першої літери того ж слова.radix». Риса над підкореним виразом спочатку була відсутня; її пізніше ввів Декарт (1637) для іншої мети (замість дужок), і ця риса незабаром злилася зі знаком кореня.

  
  
  

  Показник ступеня з'явився у знаку кореня завдяки Валлісу та «Універсальної арифметики»Ньютона (XVIII століття) [40].

  
  
  

  Див. також

  
  
  

  Література

  
  
  
  
  
  
  • Вигодський М. Я.Довідник з елементарної математики. - Вид. 25-те. - М. : Наука, 1978. - ISBN 5-17-009554-6.
  
  
  
  
  
  
  • Зайцев Ст. Ст, Рижков Ст. Ст, Сканаві М. І. Елементарна математика. Повторний курс. - Видання третє, стереотипне.
  
  
  
  
  
  
  • Історія математики, у трьох томах / За редакцією А. П. Юшкевича - М.: Наука, 1970-1972.
  
  
  
  
  
  
  • Корн Р., Корн Т.Довідник з математики (для науковців та інженерів) - 2-е вид. - М.: Наука, 1970. - 720 с.
  
  
  
  
  
  
  • Мордковіч А. Г. Алгебра та початку аналізу. Підручник для 10-11 класів, частина 1. - Вид.
  
  
  
  
  
  
  • Свєшніков А. Г., Тихонов А. М. Теорія функцій комплексної змінної. - М.: Наука, 1967. - 304 с.
  
  
  
  
  
  
  • Фіхтенгольц Р. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення - вид. 6-е.
  
  
  
  
  
  

  Примітки

  
  
  
  
  
  
  1. ↑
  
  
  
  2. Корінь // Математична енциклопедія (у 5 томах) - М.: Радянська Енциклопедія, 1982. - Т. 3. Архівовано 16 жовтня 2013 року.
  
  
  
  3. ↑ 12Елементарна математика, 1976, с.
  
  
  
  4. ↑Корн Г., Корн Т. Довідник з математики, 1970, с.
  
  
  
  5. ↑Сканаві М. І. Елементарна математика. П. 1.11.
  
  
  
  6. ↑ 12Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики, 1978, с.
  
  
  
  7. ↑
  
  
  
  8. Арифметичний корінь // Математична енциклопедія (у 5 томах) - М.: Радянська Енциклопедія, 1982. - Т. 1 Архівовано 13 листопада 2013 року.
  
  
  
  9. ↑Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення, 1966, Т. I, С. 35-36.
  
  
  
  10. ↑Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики, 1978, с.
  
  
  
  11. ↑ Алгебра і початку аналізу. Підручник для 10-11 класів, під ред.
  
  
  
  12. ↑ 12Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики, 1978, с.
  
  
  
  13. ↑Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення, 1966, Т. I, С. 194, 198.
  
  
  
  14. ↑Мордкович А. Р., 2003, с.
  
  
  
  15. ↑Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення, 1966, Т. I, С. 215.
  
  
  
  16. ↑Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення, 1966, Т. I, С. 233, окремий випадок для μ = 1 n .
  
  
  
  17. ↑ Не плутати з кратними інтегралами.Їхні записи дуже схожі, але k-й інтеграл є невизначеним, тоді як k-кратний інтеграл - певний.
  
  
  
  18. ↑Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення, 1966, Том I, стор. 67, 131-132, 164, 166-167.
  
  
  
  19. ↑
  
  
  
  20. Алгебра. 9 клас. Підручник для загальноосвітніх установ/Под ред. З. А. Теляковського. - Вид. 18-те. - М. : Просвітництво, 2011. - С. 53. - ISBN 978-5-09-025168-6.
  
  
  
  21. ↑Корн Р., Корн Т. Довідник з математики, 1970, с. 36-37.
  
  
  
  22. ↑
  
  
  
  23. Зайцев Ст. Ст, Рижков Ст. Ст, Сканаві М. І. Елементарна математика. Повторювальний курс. - Видання третє, стереотипне. - М. : Наука, 1976. - С. 68. - 591 с.
  
  
  
  24. ↑ 123Свєшніков А. Р., Тихонов А. н. Теорія функцій комплексної змінної, 1967, с. 96-99, 28-29.
  
  
  
  25. ↑
  
  
  
  26. Болтянський Ст. Р., Єфремович Ст. А.Наочна топологія. - М. : Наука, 1982. - С. 112. - (Бібліотечка Квант, випуск 21). Архівовано 2 березня 2022 року.
  
  
  
  27. ↑
  
  
  
  28. Виноградов І. М.Основи теорії чисел. - М. - Л. : ГІТТЛ, 1952. - С. 71. - 180 с. Архівовано 4 листопада 2011 року.
  
  
  
  29. ↑Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
  
  
  
  30. ↑ Див, наприклад: Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. М: ГІТТЛ, 1953, З. 212-219, або: Воєводін Ст, Воєводін Ст. Енциклопедія лінійної алгебри. Електронна система ЛІНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
  
  
  
  31. ↑ Див, наприклад: Єршов Л. Ст, Райхміст Р. Б. Побудова графіків функцій. М.: Просвітництво, 1984, або: Каплан І. А. Практичні заняття з вищої математики. Харків: Вид-во ХДУ, 1966.
  
  
  
  32. ↑ Див, наприклад: Хатсон Ст, Пім Дж. Додатки функціонального аналізу та теорії операторів. М: Світ, 1983, або: Халмош П. Гільбертовий простір у завданнях. М: Світ, 1970.
  
  
  
  33. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том I, С. 42-46.
  
  
  
  34. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том I, С. 47.
  
  
  
  35. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том I, С. 169-171.
  
  
  
  36. ↑
  
  
  
  37. Башмакова І. р. Становлення алгебри (з історії математичних ідей). - М. : Знання, 1979. - С. 23. - (Нове в житті, науці, техніці. Математика, кібернетика, № 9).
  
  
  
  38. ↑Abhishek Parakh.Ariabhata's root extraction methods // Indian Journal of History of Science. - 2007. - Вип. 42.2. - С. 149-161. Архівовано 9 червня 2010 року.
  
  
  
  39. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том I, С. 275-276.
  
  
  
  40. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том I, С. 296-298.
  
  
  
  41. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том III, С. 56-59.
  
  
  
  42. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том III, С. 62.
  
  
  
  43. ↑
  
  
  
  44. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (Ред.). Математика ХІХ століття. Математична логіка, алгебра, теорія чисел, теорія ймовірностей. - М. : Наука, 1978. - Т. I. - С. 58-66.
  
  
  
  45. ↑ Історія математики, 1970-1972, Том I, С. 185.
  
  
  
  46. ↑
  
  
  
  47. Никифоровський Ст. А. З алгебри XVI-XVII ст. - М. : Наука, 1979. - С. 81. - 208 с. - (Історія науки та техніки).
  
  
  
  48. ↑
  
  
  
  49. Знаки математичні// Математична енциклопедія. - М. : Радянська Енциклопедія, 1982. - Т. 2. Архівовано 20 листопада 2012 року.
  
  
  
  50. ↑
  
  
  
  51. Александрова Н. Ст.Історія математичних термінів, понять, позначень: Словник-довідник, вид. 3-тє. - СПб. : ЛКІ, 2008. - С. 82. - 248 с. - ISBN 978-5-382-00839-4.